1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Se o vetor u=(-7,4,6) ao invés de ser posicionado com origem na origem do sistema for deslocado para o ponto A=(4,6,-1) quais serão as coordenadas da extremidade desse vetor? Represente esta situação geometricamente.
Passo 1
O enunciado diz que temos o vetor u = (-7,4,6) e o ponto A = (4,6,-1). Ele pergunta: quais são as coordenadas da extremidade (ponta) desse vetor se ele for deslocado de modo que sua origem (calda) fique em A? Além disso pede para representar geometricamente essa situação.
Informações dadas: u = (-7,4,6) e A = (4,6,-1). Pedido: encontrar as coordenadas da extremidade do vetor quando o vetor é posto com origem em A e descrever a representação geométrica.
Passo 2
Entendendo o que significa "deslocar o vetor para o ponto A". Quando um vetor é representado por suas componentes (u_1,u_2,u_3) e colocamos a sua origem no ponto A=(a_1,a_2,a_3), a extremidade do vetor fica no ponto B obtido somando componente a componente:
B = A + u = (a_1+u_1,\; a_2+u_2,\; a_3+u_3).
Isto acontece porque um vetor dá um deslocamento: partir de A e andar (u_1) na direção x, (u_2) na direção y e (u_3) na direção z.
Passo 3
Aplicando a regra acima aos valores numéricos dados: temos A=(4,6,-1) e u=(-7,4,6). Substituímos em B=A+u:
B = (4+(-7),\;6+4,\;-1+6).
Passo 4
Calculemos coordenada a coordenada, mostrando as contas:
4+(-7)=4-7=-3,
6+4=10,
-1+6=5.
Portanto
B = (-3,10,5).
Passo 5
Verificação (boa prática): Se B é a extremidade da seta com origem em A, então o vetor \overrightarrow{AB} deve ser igual a u. Calculamos
Como representar geometricamente: marque o ponto A=(4,6,-1) no sistema de coordenadas, marque o ponto B=(-3,10,5) e desenhe uma seta que parte de A e vai até B. Essa seta representa o vetor u posicionado com origem em A. Observando a figura fornecida no enunciado vê‑se exatamente o ponto B=(-3,10,5) indicado, o que confirma a posição geométrica obtida.
Resposta
B = (-3,10,5)
Representação geométrica: seta que parte de A=(4,6,-1) e termina em B=(-3,10,5), correspondendo ao vetor u=(-7,4,6).