Mostre que o desvio quadrático médio do número de partículas no ensemble grande canônico pode ser expresso pela fórmula
Obtenha uma expressão para o desvio relativo
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que o desvio quadrático médio do número de partículas no ensemble grande canônico pode ser escrito como
- Obter uma expressão para o desvio relativo
Informações dadas / convenções que vou usar (tirei do enunciado e do contexto padrão do ensemble):
-
é a função de partição grande canônica (grand partition function). -
é a fugacidade, definida por , com e potencial químico. - Esperança de um observável
no ensemble grande canônico será escrita como a média obtida com pesos proporcionais a . -
denota o número de partículas (ou número da espécie ). Para simplicidade escrevo apenas quando não causar ambiguidade.
Passo 2
Escrevendo a definição padrão da função de partição grande canônica:
onde
é a partição canônica para
partículas (soma sobre estados com energia
leva a
). Esta expressão é a base para manipular derivadas em relação a
.
Explicação didática: a derivada em relação a
“conta” fatores
porque cada termo tem
. Em particular, o operador
atua sobre um monômio
dando
. Essa propriedade será usada repetidamente.
Passo 3
Calcule a média
a partir de
.
Primeiro calcule a derivada:
O lado direito é exatamente a soma ponderada dos
com o mesmo peso usado para as médias; portanto
Dividindo por
obtém-se a relação frequentemente usada:
Didática: isto é uma forma elegante de escrever a média do número de partículas em termos da derivada logarítmica da função de partição grande canônica.
Passo 4
Calcule
usando uma derivada de ordem mais alta.
Aplicando novamente o operador
sobre
obtém-se:
Agora escrevemos a segunda derivada do logaritmo:
Substituindo as identidades anteriores resulta
Conclusão desta etapa: obtivemos exatamente a fórmula pedida:
Passo 5
Mostrar formas equivalentes e interpretação física (fórmulas úteis para provas).
Primeira forma alternativa: como
, podemos escrever
Derivação curta: aplicar
em
dá a expressão do passo anterior.
Segunda forma usando
: como
, tem-se
Portanto
Interpretação física: a variação do número de partículas está ligada à resposta do sistema à variação do potencial químico; é uma forma de relação de flutuação–dissipação (ou de resposta).
Passo 6
Obter a expressão para o desvio relativo pedida no enunciado.
A definição de desvio relativo é
Usando as expressões já obtidas podemos escrever versões equivalentes:
- Em termos de
:
- Em termos de
:
Essas formas são úteis em provas: dependendo do problema pode-se calcular
como função de
ou de
e aplicar diretamente.
Passo 7
Exemplo simples (ilustrativo) para fixar a intuição: gás ideal clássico.
Para um gás ideal clássico não degenerado, a função de partição grande canônica tem a forma
onde
é a partição de uma única partícula. Então
Aplicando a fórmula da variância:
Logo as flutuações seguem a distribuição de Poisson e o desvio relativo é
Isso mostra a regra empírica: para um sistema grande
as flutuações relativas são pequenas, do tipo
.
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento (curto, para prova).
- A derivação principal usa apenas a propriedade combinatória
. - A fórmula final é compacta e pode ser reescrita em várias formas úteis para cálculo prático.
- Se precisar, posso trabalhar um exemplo concreto (por exemplo: fótons, elétrons ideais, gás de Boltzmann) e calcular
e o desvio relativo para praticar.