Mostre que o desvio quadrático médio do número de partículas no ensemble grande canônico pode ser expresso pela fórmula
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle=\left\langle N_{j}^{2}\right\rangle-\left\langle N_{j}\right\rangle^{2}=z \frac{\partial}{\partial z}\left[z \frac{\partial}{\partial z} \ln \Xi(\beta, z)\right] .
Obtenha uma expressão para o desvio relativo
\sqrt{\left((\Delta N)^{2}\right)} /\left\langle N_{j}\right\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que o desvio quadrático médio do número de partículas no ensemble grande canônico pode ser escrito como
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle=\left\langle N_{j}^{2}\right\rangle-\left\langle N_{j}\right\rangle^{2}=z \frac{\partial}{\partial z}\left[z \frac{\partial}{\partial z} \ln \Xi(\beta, z)\right].
  • Obter uma expressão para o desvio relativo
\frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\left\langle N_{j}\right\rangle}.
Informações dadas / convenções que vou usar (tirei do enunciado e do contexto padrão do ensemble):
  • \Xi(\beta,z) é a função de partição grande canônica (grand partition function).
  • z é a fugacidade, definida por z=\mathrm{e}^{\beta\mu}, com \beta=1/(k_{B}T) e \mu potencial químico.
  • Esperança de um observável A no ensemble grande canônico será escrita como a média \langle A\rangle obtida com pesos proporcionais a z^{N}\mathrm{e}^{-\beta H}.
  • N_{j} denota o número de partículas (ou número da espécie j). Para simplicidade escrevo apenas N quando não causar ambiguidade.

Passo 2

Escrevendo a definição padrão da função de partição grande canônica:
\Xi(\beta,z)=\sum_{N=0}^{\infty} z^{N} Z_{N}(\beta),
onde Z_{N}(\beta) é a partição canônica para N partículas (soma sobre estados com energia E leva a Z_N=\sum_{\text{estados}} \mathrm{e}^{-\beta E}). Esta expressão é a base para manipular derivadas em relação a z.
Explicação didática: a derivada em relação a z “conta” fatores N porque cada termo tem z^{N}. Em particular, o operador z\frac{\partial}{\partial z} atua sobre um monômio z^{N} dando N z^{N}. Essa propriedade será usada repetidamente.

Passo 3

Calcule a média \langle N\rangle a partir de \Xi.
Primeiro calcule a derivada:
z\frac{\partial \Xi}{\partial z}=\sum_{N=0}^{\infty} N z^{N} Z_{N}(\beta).
O lado direito é exatamente a soma ponderada dos N com o mesmo peso usado para as médias; portanto
z\frac{\partial \Xi}{\partial z}=\Xi(\beta,z)\,\langle N\rangle.
Dividindo por \Xi obtém-se a relação frequentemente usada:
\langle N\rangle = z\frac{\partial}{\partial z}\ln \Xi(\beta,z).
Didática: isto é uma forma elegante de escrever a média do número de partículas em termos da derivada logarítmica da função de partição grande canônica.

Passo 4

Calcule \langle N^{2}\rangle usando uma derivada de ordem mais alta.
Aplicando novamente o operador z\partial/\partial z sobre \Xi obtém-se:
\left(z\frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}\Xi=\sum_{N=0}^{\infty}N^{2} z^{N} Z_{N}(\beta)=\Xi(\beta,z)\,\langle N^{2}\rangle.
Agora escrevemos a segunda derivada do logaritmo:
\left(z\frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}\ln \Xi =\frac{\left(z\frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}\Xi}{\Xi}-\left(\frac{z\frac{\partial \Xi}{\partial z}}{\Xi}\right)^{2}.
Substituindo as identidades anteriores resulta
\left(z\frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}\ln \Xi=\langle N^{2}\rangle-\langle N\rangle^{2}=\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle.
Conclusão desta etapa: obtivemos exatamente a fórmula pedida:
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle = z\frac{\partial}{\partial z}\left[z\frac{\partial}{\partial z}\ln \Xi(\beta,z)\right].

Passo 5

Mostrar formas equivalentes e interpretação física (fórmulas úteis para provas).
Primeira forma alternativa: como \langle N\rangle = z\partial_{z}\ln\Xi, podemos escrever
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle = z\frac{\partial}{\partial z}\langle N\rangle.
Derivação curta: aplicar z\partial_{z} em \langle N\rangle dá a expressão do passo anterior.
Segunda forma usando \mu: como \ln z=\beta\mu, tem-se
z\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial(\ln z)}=\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\mu}=k_{B}T\frac{\partial}{\partial\mu}.
Portanto
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle =k_{B}T\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}.
Interpretação física: a variação do número de partículas está ligada à resposta do sistema à variação do potencial químico; é uma forma de relação de flutuação–dissipação (ou de resposta).

Passo 6

Obter a expressão para o desvio relativo pedida no enunciado.
A definição de desvio relativo é
\frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\langle N\rangle}.
Usando as expressões já obtidas podemos escrever versões equivalentes:
  • Em termos de z:
\frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\langle N\rangle} =\frac{\sqrt{\,z\frac{\partial}{\partial z}\langle N\rangle\,}}{\langle N\rangle}.
  • Em termos de \mu:
\frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\langle N\rangle} =\frac{\sqrt{\,k_{B}T\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}\,}}{\langle N\rangle}.
Essas formas são úteis em provas: dependendo do problema pode-se calcular \langle N\rangle como função de z ou de \mu e aplicar diretamente.

Passo 7

Exemplo simples (ilustrativo) para fixar a intuição: gás ideal clássico.
Para um gás ideal clássico não degenerado, a função de partição grande canônica tem a forma
\Xi=\exp\big(z Z_{1}\big),
onde Z_{1} é a partição de uma única partícula. Então
\ln\Xi=z Z_{1},\qquad \langle N\rangle = z Z_{1}.
Aplicando a fórmula da variância:
\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle = z\frac{\partial}{\partial z}(z Z_{1})=z Z_{1}=\langle N\rangle.
Logo as flutuações seguem a distribuição de Poisson e o desvio relativo é
\frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\langle N\rangle} =\frac{1}{\sqrt{\langle N\rangle}}.
Isso mostra a regra empírica: para um sistema grande \langle N\rangle\gg1 as flutuações relativas são pequenas, do tipo 1/\sqrt{\langle N\rangle}.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento (curto, para prova).
  • A derivação principal usa apenas a propriedade combinatória z\partial_{z} z^{N}=N z^{N}.
  • A fórmula final é compacta e pode ser reescrita em várias formas úteis para cálculo prático.
  • Se precisar, posso trabalhar um exemplo concreto (por exemplo: fótons, elétrons ideais, gás de Boltzmann) e calcular \langle N\rangle e o desvio relativo para praticar.

Resposta

\displaystyle \left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle=\left\langle N^{2}\right\rangle-\left\langle N\right\rangle^{2} = z\frac{\partial}{\partial z}\!\left[z\frac{\partial}{\partial z}\ln \Xi(\beta,z)\right]
\displaystyle \frac{\sqrt{\left\langle(\Delta N)^{2}\right\rangle}}{\langle N\rangle} =\frac{\sqrt{\,z\frac{\partial}{\partial z}\langle N\rangle\,}}{\langle N\rangle} =\frac{\sqrt{\,k_{B}T\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}\,}}{\langle N\rangle}

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