1. Um sistema de N partículas clássicas ultra-relativísticas, dentro de um recipiente de volume V, a uma temperatura T, é definido pelo hamiltoniano
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N} c\left|\bar{p}_{i}\right|,
onde a constante c é positiva. Obtenha uma expressão para a função canônica de partição. Calcule a entropia por partícula como função da temperatura c do volume específico. Qual a expressão do calor específico a volume constante?

Passo 1

O enunciado nos dá um gás clássico de N partículas ultra-relativísticas no volume V e temperatura T, com hamiltoniano
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N} c\left|\bar{p}_{i}\right|,
onde c>0 é uma constante (velocidade característica) e \bar{p}_i é o vetor momento da i-ésima partícula. O que é pedido:
  • Obter a função canônica de partição Z(N,V,T).
  • Calcular a entropia por partícula como função da temperatura e do volume específico.
  • Obter a expressão do calor específico a volume constante C_V.
Informações relevantes que já temos (tiradas do enunciado):
  • Sistema clássico (trataremos a integral de fase clássica).
  • Hamiltoniano dependente apenas dos módulos dos momentos, não das posições.
  • Partículas indistinguíveis (usaremos o fator 1/N! na partição clássica) e unidade de volume de célula no espaço de fase será dada por h^{3N} (constante de Planck h) para tornar a integral adimensional.

Passo 2

Montagem da função de partição canônica clássica. A definição clássica é
Z(N,V,T)=\frac{1}{N!h^{3N}}\int d^{3N}q\,d^{3N}p\;e^{-\beta\mathcal{H}(\{p_i\})},
onde \beta=\dfrac{1}{kT} e k é a constante de Boltzmann. Como \mathcal{H} não depende das coordenadas \{q_i\}, a integral sobre posições dá um fator V^N. Logo
Z(N,V,T)=\frac{V^N}{N!h^{3N}}\left(\int_{\mathbb{R}^3} d^3p\;e^{-\beta c|\bar p|}\right)^N.
Definimos a função de partição de uma partícula z_1 como
z_1=\frac{V}{h^{3}}\int_{\mathbb{R}^3} d^3p\;e^{-\beta c|\bar p|}.

Passo 3

Cálculo da integral de momento (uma partícula). Use coordenadas esféricas no espaço de momentos:
\int_{\mathbb{R}^3} d^3p\;e^{-\beta c|\bar p|}=4\pi\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp.
Para calcular \int_0^\infty p^{2}e^{-\alpha p}dp usamos a fórmula básica
\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-\alpha x}\,dx=\frac{n!}{\alpha^{\,n+1}}\quad(\alpha>0,\;n\in\mathbb{N}),
que para n=2 \displaystyle\int_{0}^{\infty} p^{2}e^{-\alpha p}dp=\frac{2}{\alpha^{3}}. Tomando \alpha=\beta c obtemos
\int_{\mathbb{R}^3} d^3p\;e^{-\beta c|\bar p|}=4\pi\cdot\frac{2}{(\beta c)^{3}}=\frac{8\pi}{(\beta c)^{3}}.
Portanto
z_1=\frac{V}{h^{3}}\cdot\frac{8\pi}{(\beta c)^{3}}.
Substituindo \beta=1/(kT) de forma explícita, uma forma útil é
z_1=\frac{8\pi V}{h^{3}}\left(\frac{kT}{c}\right)^{3}.
Voltando à partição do sistema de N partículas:
Z(N,V,T)=\frac{1}{N!}\,z_1^{\,N}=\frac{1}{N!}\left[\frac{8\pi V}{h^{3}}\left(\frac{kT}{c}\right)^{3}\right]^{N}.

Passo 4

Cálculo da energia interna média U. Em geral
U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z.
Como \ln Z = -\ln N! + N\ln z_1 e \ln z_1 = \ln\!\left(\dfrac{8\pi V}{h^3}\right) -3\ln(\beta c), tem-se
-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln z_1 = -\frac{\partial}{\partial\beta}\big(-3\ln\beta +\text{const}\big)=\frac{3}{\beta}.
Logo a energia média por partícula é
\varepsilon\equiv\frac{U}{N}=\frac{3}{\beta}=3kT,
e a energia total
U=3NkT.
Comentário físico rápido: cada partícula contribui 3kT de energia média, análogo ao teorema equipartição, mas aqui adaptado à dependência linear em p (ultra-relativística).

Passo 5

Cálculo da entropia S. Podemos usar F=-kT\ln Z (energia livre de Helmholtz) e S=-\left(\partial F/\partial T\right)_{V,N}. Primeiro escrevemos F:
F=-kT\ln Z=-kT\big(N\ln z_1-\ln N!\big).
Para avançar, usamos a aproximação de Stirling válida para N\gg1:
\ln N!\simeq N\ln N - N.
Então
F\simeq -NkT\big(\ln z_1-\ln N+1\big).
Agora derivamos S=-\partial F/\partial T. Note que \ln z_1 depende de T via \ln z_1= \ln\!\left(\dfrac{8\pi V}{h^{3}}\right)+3\ln(kT)-3\ln c, portanto
\frac{\partial}{\partial T}\ln z_1=\frac{3}{T}.
Calculando S:
S=-\frac{\partial F}{\partial T}=Nk\big(\ln z_1-\ln N+1\big)+NkT\cdot\frac{3}{T}.
Simplificando,
S=Nk\big(\ln z_1-\ln N+4\big).
É conveniente escrever em termos do volume específico v=\dfrac{V}{N}. Substituindo z_1 e reorganizando:
\ln z_1-\ln N = \ln\!\Big(\frac{V}{N}\Big)+\ln\!\Big(\frac{8\pi (kT)^{3}}{h^{3}c^{3}}\Big)=\ln v +\ln\!\Big(\frac{8\pi (kT)^{3}}{h^{3}c^{3}}\Big).
Logo a entropia por partícula fica
\frac{S}{N}=k\left[\ln\!\Big(\frac{8\pi v (kT)^{3}}{h^{3}c^{3}}\Big)+4\right].
Observação: a estrutura é análoga à fórmula de Sackur–Tetrode para gases clássicos, com diferenças numéricas e o expoente 3 refletindo a dependência \mathcal{H}\propto p.

Passo 6

Cálculo do calor específico a volume constante. Usamos U=3NkT. Então
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=3Nk.
O calor específico por partícula é
\frac{C_{V}}{N}=3k.

Resposta

Z(N,V,T)=\frac{1}{N!}\left[\frac{8\pi V}{h^{3}}\left(\frac{kT}{c}\right)^{3}\right]^{N}
\frac{S}{N}=k\left[\ln\!\Big(\frac{8\pi v (kT)^{3}}{h^{3}c^{3}}\Big)+4\right],\qquad v=\frac{V}{N}
C_{V}=3Nk\quad\bigl(\text{ou por partícula }C_{V}/N=3k\bigr)í

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