- Um sistema de
partículas clássicas ultra-relativísticas, dentro de um recipiente de volume
, a uma temperatura
, é definido pelo hamiltoniano
onde a constante
é positiva. Obtenha uma expressão para a função canônica de partição. Calcule a entropia por partícula como função da temperatura c do volume específico. Qual a expressão do calor específico a volume constante?
Passo 1
O enunciado nos dá um gás clássico de
partículas ultra-relativísticas no volume
e temperatura
, com hamiltoniano
onde
é uma constante (velocidade característica) e
é o vetor momento da
-ésima partícula. O que é pedido:
- Obter a função canônica de partição
. - Calcular a entropia por partícula como função da temperatura e do volume específico.
- Obter a expressão do calor específico a volume constante
.
Informações relevantes que já temos (tiradas do enunciado):
- Sistema clássico (trataremos a integral de fase clássica).
- Hamiltoniano dependente apenas dos módulos dos momentos, não das posições.
- Partículas indistinguíveis (usaremos o fator
na partição clássica) e unidade de volume de célula no espaço de fase será dada por (constante de Planck ) para tornar a integral adimensional.
Passo 2
Montagem da função de partição canônica clássica. A definição clássica é
onde
e
é a constante de Boltzmann. Como
não depende das coordenadas
, a integral sobre posições dá um fator
. Logo
Definimos a função de partição de uma partícula
como
Passo 3
Cálculo da integral de momento (uma partícula). Use coordenadas esféricas no espaço de momentos:
Para calcular
usamos a fórmula básica
que para
dá
. Tomando
obtemos
Portanto
Substituindo
de forma explícita, uma forma útil é
Voltando à partição do sistema de
partículas:
Passo 4
Cálculo da energia interna média
. Em geral
Como
e
, tem-se
Logo a energia média por partícula é
e a energia total
Comentário físico rápido: cada partícula contribui
de energia média, análogo ao teorema equipartição, mas aqui adaptado à dependência linear em
(ultra-relativística).
Passo 5
Cálculo da entropia
. Podemos usar
(energia livre de Helmholtz) e
. Primeiro escrevemos
:
Para avançar, usamos a aproximação de Stirling válida para
:
Então
Agora derivamos
. Note que
depende de
via
, portanto
Calculando
:
Simplificando,
É conveniente escrever em termos do volume específico
. Substituindo
e reorganizando:
Logo a entropia por partícula fica
Observação: a estrutura é análoga à fórmula de Sackur–Tetrode para gases clássicos, com diferenças numéricas e o expoente 3 refletindo a dependência
.
Passo 6
Cálculo do calor específico a volume constante. Usamos
. Então
O calor específico por partícula é