Questão 2) Sinais elementares: degrau unitário e impulso unitário
Conforme o conteúdo estudado em aula sobre sinais elementares, responder o que é solicitado a seguir.
Desenhar os sinais elementares de tempo discreto (degrau unitário e impulso unitário de tempo discreto). Em tempo discreto, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Mostre a dedução.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível:
  • Pedem para desenhar (mostrar) os sinais elementares de tempo discreto: o degrau unitário e o impulso unitário.
  • Perguntam: em tempo discreto, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Pedem a dedução.
  • Informação implícita: trabalhar com índices inteiros n\in\mathbb{Z} (tempo discreto). Não há outras condições extra — usar as definições padrão causais: degrau é 1 para n\ge 0.

Passo 2

Definição e notação do eixo de tempo discreto
  • Em tempo discreto o tempo é um índice inteiro n. Quando desenhamos sinais, pensamos em pontos isolados (stems) nos inteiros n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots.
  • Vou usar a notação clássica:
    • degrau unitário: u[n],
    • impulso unitário (Kronecker): \delta[n].

Passo 3

Definição do degrau unitário [u[n]) (fórmula e explicação)
  • A definição padrão (causal) é:
u[n] = \begin{cases} 0, & n<0,\\[4pt] 1, & n\ge 0. \end{cases}
  • Interpretação: para todo inteiro n\] menor que \(0 o sinal vale 0; a partir de n=0 (inclusive) vale 1. É uma “escada” que pula de 0 para 1 em n=0 e fica em 1 depois disso.]

Passo 4

Desenho / representação do degrau u[n] (descrição prática e valores)
  • Tabela de exemplos para visualizar (valores para alguns n):
n: \ldots -2, -1, 0, 1, 2, \ldots
u[n]: \ldots 0, 0, 1, 1, 1, \ldots
  • Como desenhar num rascunho de prova: faça uma linha de valores inteiros no eixo horizontal; nos inteiros n<0 marque stems de altura 0 (nada); em n=0 marque um stem de altura 1 (às vezes com um círculo preenchido em cima do stem); para n\ge 1 marque stems também de altura 1. Isso representa o degrau.

Passo 5

Definição do impulso unitário [\delta[n]) (fórmula e explicação)
  • A definição do impulso unitário (Kronecker delta) é:
\delta[n] = \begin{cases} 1, & n=0,\\[4pt] 0, & n\neq 0. \end{cases}
  • Interpretação: é um sinal que é zero em todos os instantes exceto em n=0\], onde vale \(1. É um pico isolado no tempo discreto.]

Passo 6

Desenho / representação do impulso \delta[n] (descrição prática e valores)
  • Tabela de exemplos:
n: \ldots -2, -1, 0, 1, 2, \ldots
\delta[n]: \ldots 0, 0, 1, 0, 0, \ldots
  • Como desenhar: marque um único stem de altura 1 em n=0; todos os outros inteiros ficam com stem de altura 0.

Passo 7

Proposta da relação e raciocínio intuitivo
  • A relação que conecta os dois sinais é a diferença entre degraus deslocados: a ideia intuitiva é que a “borda” do degrau (o salto de 0 para 1) concentra toda a mudança em um único instante. No discrete-time isso se obtém por diferença de dois degraus deslocados.
  • A fórmula candidata é
\delta[n] = u[n] - u[n-1].
Vou provar que essa expressão realmente vale \delta[n].

Passo 8

Demonstração caso a caso da identidade [\delta[n] = u[n] - u[n-1])
Avaliamos a diferença para os três tipos de n:
  • Para n<0:
    • \,u[n]=0 (porque n<0).
    • \,u[n-1]=0 (porque n-1<0 também).
    • Logo \,u[n]-u[n-1]=0-0=0.
  • Para n=0:
    • \,u[0]=1 (pela definição do degrau).
    • \,u[-1]=0 (porque -1<0).
    • Logo \,u[0]-u[-1]=1-0=1.
  • Para n>0:
    • \,u[n]=1 e \,u[n-1]=1 (ambos índices \ge 0).
    • Logo \,u[n]-u[n-1]=1-1=0.
Juntando os casos, a diferença é 0 para n\neq 0 e 1 para n=0, isto é exatamente
u[n]-u[n-1]= \begin{cases} 1, & n=0,\\[4pt] 0, & n\neq 0, \end{cases}
ou seja (,u[n]-u[n-1]=\delta[n]]. Assim a identidade está provada.]

Passo 9

Interpretação inversa: gerar degrau a partir de impulsos (soma acumulada)
  • A operação inversa é soma acumulada (convolução com um acumulador): o degrau é a soma de todos os impulsos até aquele instante. Formalmente vale
u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k].
  • Para sinais causais (onde \delta[k]=0 para k<0 exceto k=0), essa soma pode ser vista na prática como
u[n] = \sum_{k=0}^{n} \delta[k]\quad\text{(para \(n\ge 0\))},
porque somente k=0 contribui com 1 quando n\ge 0, e para n<0 a soma é vazia (zero). Isso mostra que degrau é a soma acumulada de impulsos, e impulso é a diferença (derivada discreta) do degrau.

Passo 10

Generalização (impulso deslocado) e dica prática para a prova
  • Fórmulas deslocadas: o impulso deslocado em n_0 é dado por
\delta[n-n_0] = u[n-n_0] - u[n-n_0-1].
Isso cria um pico de amplitude 1 em n=n_0.
  • Dicas para a prova (resumindo de forma prática e amigável):
    • Para desenhar u[n]: coloque 1 em todos os n\ge 0, 0 antes.
    • Para desenhar \delta[n]: coloque 1 somente em n=0, zeros nos outros.
    • Para mostrar que \delta[n]=u[n]-u[n-1]: faça a prova por casos ( n<0, n=0, n>0) — é curto e seguro.
    • Lembre-se que diferenciar um degrau (diferença atrasada) dá um impulso; somar impulsos dá um degrau. Isso é uma regra mental útil.

Resposta

u[n]=\begin{cases}0,&n<0,\\[4pt]1,&n\ge 0,\end{cases}
\delta[n]=\begin{cases}1,&n=0,\\[4pt]0,&n\neq 0.\end{cases}
\displaystyle \delta[n]=u[n]-u[n-1].]

Exercícios relacionados