Questão 2) Sinais elementares: degrau unitário e impulso unitário
Conforme o conteúdo estudado em aula sobre sinais elementares, responder o que é solicitado a seguir.
Desenhar os sinais elementares de tempo discreto (degrau unitário e impulso unitário de tempo discreto). Em tempo discreto, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Mostre a dedução.
Conforme o conteúdo estudado em aula sobre sinais elementares, responder o que é solicitado a seguir.
Desenhar os sinais elementares de tempo discreto (degrau unitário e impulso unitário de tempo discreto). Em tempo discreto, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Mostre a dedução.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível:
- Pedem para desenhar (mostrar) os sinais elementares de tempo discreto: o degrau unitário e o impulso unitário.
- Perguntam: em tempo discreto, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Pedem a dedução.
- Informação implícita: trabalhar com índices inteiros
(tempo discreto). Não há outras condições extra — usar as definições padrão causais: degrau é para .
Passo 2
Definição e notação do eixo de tempo discreto
- Em tempo discreto o tempo é um índice inteiro
. Quando desenhamos sinais, pensamos em pontos isolados (stems) nos inteiros . - Vou usar a notação clássica:
- degrau unitário:
, - impulso unitário (Kronecker):
.
- degrau unitário:
Passo 3
Definição do degrau unitário [u[n]) (fórmula e explicação)
- A definição padrão (causal) é:
- Interpretação: para todo inteiro
o sinal vale
; a partir de (inclusive) vale . É uma “escada” que pula de para em e fica em depois disso.]
Passo 4
Desenho / representação do degrau
(descrição prática e valores)
- Tabela de exemplos para visualizar (valores para alguns
):
n:
,
,
,
,
,
:
,
,
,
,
,
- Como desenhar num rascunho de prova: faça uma linha de valores inteiros no eixo horizontal; nos inteiros
marque stems de altura (nada); em marque um stem de altura (às vezes com um círculo preenchido em cima do stem); para marque stems também de altura . Isso representa o degrau.
Passo 5
Definição do impulso unitário [\delta[n]) (fórmula e explicação)
- A definição do impulso unitário (Kronecker delta) é:
- Interpretação: é um sinal que é zero em todos os instantes exceto em . É um pico isolado no tempo discreto.]
Passo 6
Desenho / representação do impulso
(descrição prática e valores)
- Tabela de exemplos:
n:
,
,
,
,
,
:
,
,
,
,
,
- Como desenhar: marque um único stem de altura
em ; todos os outros inteiros ficam com stem de altura .
Passo 7
Proposta da relação e raciocínio intuitivo
- A relação que conecta os dois sinais é a diferença entre degraus deslocados: a ideia intuitiva é que a “borda” do degrau (o salto de
para ) concentra toda a mudança em um único instante. No discrete-time isso se obtém por diferença de dois degraus deslocados. - A fórmula candidata é
Vou provar que essa expressão realmente vale
.
Passo 8
Demonstração caso a caso da identidade [\delta[n] = u[n] - u[n-1])
Avaliamos a diferença para os três tipos de
:
-
Para
: -
(porque ). -
(porque também). - Logo
.
-
-
Para
: -
(pela definição do degrau). -
(porque ). - Logo
.
-
-
Para
: -
e (ambos índices ). - Logo
.
-
Juntando os casos, a diferença é
para
e
para
, isto é exatamente
ou seja (,u[n]-u[n-1]=\delta[n]]. Assim a identidade está provada.]
Passo 9
Interpretação inversa: gerar degrau a partir de impulsos (soma acumulada)
- A operação inversa é soma acumulada (convolução com um acumulador): o degrau é a soma de todos os impulsos até aquele instante. Formalmente vale
- Para sinais causais (onde
para exceto ), essa soma pode ser vista na prática como
porque somente
contribui com
quando
, e para
a soma é vazia (zero). Isso mostra que degrau é a soma acumulada de impulsos, e impulso é a diferença (derivada discreta) do degrau.
Passo 10
Generalização (impulso deslocado) e dica prática para a prova
- Fórmulas deslocadas: o impulso deslocado em
é dado por
Isso cria um pico de amplitude
em
.
- Dicas para a prova (resumindo de forma prática e amigável):
- Para desenhar
: coloque em todos os , antes. - Para desenhar
: coloque somente em , zeros nos outros. - Para mostrar que
: faça a prova por casos ( , , ) — é curto e seguro. - Lembre-se que diferenciar um degrau (diferença atrasada) dá um impulso; somar impulsos dá um degrau. Isso é uma regra mental útil.
- Para desenhar