Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência
Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano "
".
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas claras:
- Encontrar os zeros da função (os valores de
que anulam o numerador). - Encontrar os polos da função (os valores de
que anulam o denominador) e desenhar polos e zeros no plano .
Informações relevantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
O que é zero e o que é polo — explicação prática (passo a passo didático rápido):
- Zero: é qualquer valor de
tal que . Se o numerador tem um fator , então é um zero. Se fator aparece com potência maior que 1, o zero tem multiplicidade igual à potência. - Polo: é qualquer valor de
tal que . Se o denominador tem um fator , então é um polo (também pode ter multiplicidade). - Para encontrar zeros/polos, basta resolver equações polinomiais simples:
e .
Passo 3
Encontrar os zeros resolvendo
.
- Temos
. - Resolver
.
Portanto existe um zero em. (Zero simples, multiplicidade 1.)
Passo 4
Encontrar os polos resolvendo
.
- Denominador:
. - Identificar coeficientes para usar a fórmula quadrática:
, , . - A fórmula quadrática dá os zeros do polinômio:
- Calcular o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 5
Aplicar a fórmula com
:
Separando parte real e imaginária:
- Parte real:
- Parte imaginária:
. Numericamente, .
Logo os polos são
ou em aproximação decimal
Passo 6
Como desenhar polos e zeros no plano
— instruções práticas para fazer rápido na prova:
- Desenhe dois eixos ortogonais: eixo horizontal é
(parte real), eixo vertical é (parte imaginária). - Zero: marque um círculo
em (origem). - Polos: marque um xis
em cada uma das coordenadas encontradas. Aqui marque um em , e outro em , . - Note que os polos são conjugados e estão no semiplano esquerdo (parte real negativa). Isso indica resposta visual: dois
simétricos em relação ao eixo real, à esquerda da origem, e um na origem.
Passo 7
Observações úteis (para a prova, dicas rápidas):
- Zero simples em
significa que a função de transferência tem fator no numerador (um zero em origem é comum em sistemas que introduzem fase). - Polos com parte real negativa indicam comportamento estável (resposta caída no tempo) — isso pode ser usado se a pergunta pedir estabilidade.
- Sempre indicar tanto a forma exata (frações com
) quanto aproximação decimal para facilitar o desenho.
Resposta
Zero:
Polos:
Polos (aprox.):
Polos:
Polos (aprox.):