Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência

Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano " s ".
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s}{2 s^{2}+5 s+4}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s}{2 s^{2}+5 s+4}
e pede duas coisas claras:
  • Encontrar os zeros da função (os valores de s que anulam o numerador).
  • Encontrar os polos da função (os valores de s que anulam o denominador) e desenhar polos e zeros no plano s.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: N(s)=s.
  • Denominador: D(s)=2 s^{2}+5 s+4.

Passo 2

O que é zero e o que é polo — explicação prática (passo a passo didático rápido):
  • Zero: é qualquer valor de s tal que N(s)=0. Se o numerador tem um fator (s-s_0), então s_0 é um zero. Se fator aparece com potência maior que 1, o zero tem multiplicidade igual à potência.
  • Polo: é qualquer valor de s tal que D(s)=0. Se o denominador tem um fator (s-p_0), então p_0 é um polo (também pode ter multiplicidade).
  • Para encontrar zeros/polos, basta resolver equações polinomiais simples: N(s)=0 e D(s)=0.

Passo 3

Encontrar os zeros resolvendo N(s)=0.
  • Temos N(s)=s.
  • Resolver s=0.
    Portanto existe um zero em s=0. (Zero simples, multiplicidade 1.)

Passo 4

Encontrar os polos resolvendo D(s)=0.
  • Denominador: D(s)=2 s^{2}+5 s+4.
  • Identificar coeficientes para usar a fórmula quadrática: a=2, b=5, c=4.
  • A fórmula quadrática dá os zeros do polinômio:
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Calcular o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 5^{2}-4\cdot2\cdot4 = 25-32 = -7.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 5

Aplicar a fórmula com \Delta=-7:
s=\frac{-5\pm\sqrt{-7}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm j\sqrt{7}}{4}.
Separando parte real e imaginária:
  • Parte real: \displaystyle \Re(s)=-\frac{5}{4}=-1{,}25.
  • Parte imaginária: \displaystyle \Im(s)=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}. Numericamente, \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\approx 0{,}661.
Logo os polos são
s_{1}=-\frac{5}{4}+j\frac{\sqrt{7}}{4}\quad\text{e}\quad s_{2}=-\frac{5}{4}-j\frac{\sqrt{7}}{4},
ou em aproximação decimal
s_{1}\approx -1{,}25 + j0{,}661,\qquad s_{2}\approx -1{,}25 - j0{,}661.

Passo 6

Como desenhar polos e zeros no plano s — instruções práticas para fazer rápido na prova:
  • Desenhe dois eixos ortogonais: eixo horizontal é \Re(s) (parte real), eixo vertical é \Im(s) (parte imaginária).
  • Zero: marque um círculo (\circ) em s=0 (origem).
  • Polos: marque um xis (\times) em cada uma das coordenadas encontradas. Aqui marque um \times em \Re(s)=-1{,}25, \Im(s)=+0{,}661 e outro \times em \Re(s)=-1{,}25, \Im(s)=-0{,}661.
  • Note que os polos são conjugados e estão no semiplano esquerdo (parte real negativa). Isso indica resposta visual: dois \times simétricos em relação ao eixo real, à esquerda da origem, e um \circ na origem.

Passo 7

Observações úteis (para a prova, dicas rápidas):
  • Zero simples em s=0 significa que a função de transferência tem fator s no numerador (um zero em origem é comum em sistemas que introduzem fase).
  • Polos com parte real negativa indicam comportamento estável (resposta caída no tempo) — isso pode ser usado se a pergunta pedir estabilidade.
  • Sempre indicar tanto a forma exata (frações com \sqrt{7}) quanto aproximação decimal para facilitar o desenho.

Resposta

Zero: s=0
Polos: s=\dfrac{-5\pm j\sqrt{7}}{4}
Polos (aprox.): s\approx -1{,}25 \pm j0{,}661

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