Questão 2) Sinais elementares: degrau unitário e impulso unitário
Conforme o conteúdo estudado em aula sobre sinais elementares, responder o que é solicitado a seguir.
Desenhar os sinais elementares de tempo contínuo (degrau unitário e impulso unitário de tempo contínuo). Em tempo contínuo, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário? Mostre a dedução.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Desenhar os sinais elementares de tempo contínuo: o degrau unitário e o impulso unitário.
  • Mostrar, em tempo contínuo, como obter o impulso unitário a partir do degrau unitário e apresentar a dedução.
As informações dadas são apenas essas exigências; nada mais foi fornecido.

Passo 2

O que é o degrau unitário u(t)\). Vou definir de forma simples e direta (essa é a definição usada em sinais contínuos): \[u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t>0. \end{cases}
(Convencionalmente muitas vezes toma-se u(0)=\tfrac{1}{2}\] por simetria em análises de transformadas, mas esse valor em \(t=0 não afeta os resultados que vamos usar.)
Descrição do desenho de u(t): para t<0 o gráfico é uma linha horizontal em zero; em t=0 há uma subida (salto) e para t>0 o gráfico é uma linha horizontal em um. Em ASCII, um esboço seria:
\n
t < 0: ──────────────── 0\n
t = 0: salto para 1\n
t > 0: ──────────────── 1]

Passo 3

O que é o impulso unitário \delta(t). Aqui está a definição usada em sinais:
  • \delta(t)=0 para todo t\neq 0.
  • A integral total é unitária:
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1.
Além disso, vale a propriedade de amostragem (sifting):
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-t_0)\,dt = f(t_0)
para funções f suficientemente bem-comportadas.
Descrição do desenho de \delta(t): é um “pico” concentrado em t=0 com área igual a 1. Em ASCII, pense num traço vertical muito alto e fino em t=0 rotulado com área =1.

Passo 4

Relação fundamental entre os dois sinais (intuição pela integral). Existe a identidade
u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau.
Explicando por que isso é razoável: se t<0 a integral não inclui o ponto onde \delta está concentrado, então o valor é 0; se t>0 a integral inclui toda a massa do impulso e dá 1. Assim a integral acumulada do impulso até t reproduz exatamente o degrau u(t).
Agora, diferenciando ambos os lados em t (no sentido das derivadas de distribuições; intuitivamente é a derivada ponto a ponto onde as funções forem regulares), obtém-se
\frac{d}{dt}u(t)=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau=\delta(t).
Portanto, em sentido distribuicional/operacional,
\boxed{\delta(t)=\dfrac{d}{dt}u(t).}
Comentário intuitivo: a derivada do degrau é zero em todos os pontos fora de t=0 e “infinita” em t=0 de forma que a área dessa singularidade é 1 — isto é exatamente o impulso.

Passo 5

Dedução construtiva usando aproximação por funções (modo prático e totalmente elementar). Vou construir uma sequência de funções contínuas que aproximam o degrau e observar suas derivadas.
Defina, para \varepsilon>0\), a aproximação \(u_{\varepsilon}(t)\) por um ramp (rampa) linear: \[u_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] \dfrac{t}{\varepsilon}, & 0\le t\le\varepsilon,\\[6pt] 1, & t>\varepsilon. \end{cases}
Essa função é contínua: ela sobe linearmente de 0\] a \[1 no intervalo [0,\varepsilon].
Calcule a derivada (onde existe):
\frac{d}{dt}u_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{\varepsilon}, & 0<t<\varepsilon,\\[6pt] 0, & t>\varepsilon. \end{cases}
Ou seja, \dfrac{d}{dt}u_{\varepsilon}(t)\] é um pulso retangular de altura \(\dfrac{1}{\varepsilon} e largura \varepsilon. A área desse pulso é
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{dt}u_{\varepsilon}(t)\,dt = \frac{1}{\varepsilon}\cdot \varepsilon = 1.
Agora faça \varepsilon\to 0^{+}. O pulso retangular fica cada vez mais estreito e mais alto, mantendo área 1. No limite, essa sequência de funções converge (no sentido de distribuições) para o impulso unitário \delta(t). Em símbolos:
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{d}{dt}u_{\varepsilon}(t)=\delta(t).
Como u_{\varepsilon}(t)\to u(t) ponto a ponto fora de t=0, isso formaliza que a derivada do degrau é o impulso.]

Passo 6

Observações práticas e propriedades úteis (para a prova e para usar na prática)
  • Derivando um degrau deslocado: \dfrac{d}{dt}u(t-t_0)=\delta(t-t_0).
  • Se multiplicar o degrau por uma constante A, \dfrac{d}{dt}\bigl(A\,u(t)\bigr)=A\,\delta(t).
  • A derivada do degrau não é uma função no sentido clássico (é uma distribuição); na prática de sinais isso é tratado de forma operacional: ao derivar um salto obtém-se um impulso com área igual ao tamanho do salto.
  • Propriedade de amostragem útil: \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0). Isso mostra por que a integral do impulso “recupera” valores da função.

Resposta

u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t>0 \end{cases}
(usual u(0)=\tfrac{1}{2} como convenção)
\delta(t)=0\\ \text{para }t\neq 0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1
u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau
\boxed{\delta(t)=\dfrac{d}{dt}u(t)}]

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