Dois discos com diâmetros de
, espaçados por 2 mm , formam um capacitor de placas paralelas. O campo elétrico entre os discos vale
. a) Qual é a diferença de potencial através do capacitor? b) Qual a carga de cada disco? e) Um elétron é lançado da placa negativa e bate na placa positiva a
. Qual foi a velocidade de lançamento?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
- Diâmetro dos discos:
. - Logo o raio é
. - Separação entre as placas:
. - Campo elétrico entre as placas (uniforme):
.
O enunciado pede:
(a) A diferença de potencial através do capacitor (entre as placas).
(b) A carga em cada disco (módulo da carga).
(c) Se um elétron sai da placa negativa e atinge a placa positiva com velocidade final , qual foi a velocidade de lançamento
(velocidade inicial)?
(a) A diferença de potencial através do capacitor (entre as placas).
(b) A carga em cada disco (módulo da carga).
(c) Se um elétron sai da placa negativa e atinge a placa positiva com velocidade final
Passo 2
(a) Relação entre campo elétrico uniforme e diferença de potencial.
A regra física usada: para um campo elétrico uniforme entre placas paralelas a diferença de potencial é dada por
onde
-
é a diferença de potencial (potencial da placa positiva menos o da negativa) em volts, -
é o módulo do campo elétrico em , -
é a distância entre as placas em .
Substituindo os valores dados:
Calcule:
Portanto a diferença de potencial entre as placas é
.
Passo 3
(b) Carga em cada disco — usando a capacitância aproximada de placas paralelas.
Para placas circulares com separação muito menor que o raio é comum aproximar a capacitância por
onde
-
é a capacitância em farads, -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a área de uma placa em , -
é a separação em .
Calcule a área da placa (círculo de raio
):
Numericamente:
Agora a capacitância:
Simplificando a razão
:
Logo
A carga em cada placa (módulo) é
Substituindo:
Arredondando de forma coerente com os dados, podemos escrever
.
Observação rápida: esta é uma aproximação que despreza efeitos de borda (franja), que é aceitável quando
é bem menor que o raio.
Passo 4
(c) Velocidade inicial do elétron — conservação da energia (aproximação não relativística).
Princípio físico: o trabalho da força elétrica ao deslocar o elétron entre as placas se transforma em variação de energia cinética. Tomando a placa negativa como ponto inicial e a positiva como final, o elétron ganha energia
(onde
é o módulo da carga do elétron) ao ir da negativa para a positiva. Assim:
onde
-
é a massa do elétron, -
é o módulo da carga do elétron, -
é a velocidade inicial (o que queremos), -
é a velocidade final dada, -
é a diferença de potencial (já calculada ).
Isolando
:
Calcule o termo elétrico:
Dividindo por
:
Agora
. Então
Portanto
Comentário sobre validade:
e
são muito menores que a velocidade da luz
, logo a aproximação não relativística (energia cinética clássica) é adequada.
Passo 5
Resumo final e incentivo: deu trabalho, mas as contas principais são simples — diferença de potencial por
, carga por
com
, e velocidade inicial por conservação de energia. Mandou bem por trazer o exercício — é exatamente o tipo de conta que cai na prova. Vamos com foco que você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)