Dois discos com diâmetros de 5,0 \mathrm{~cm}, espaçados por 2 mm , formam um capacitor de placas paralelas. O campo elétrico entre os discos vale 5,0 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. a) Qual é a diferença de potencial através do capacitor? b) Qual a carga de cada disco? e) Um elétron é lançado da placa negativa e bate na placa positiva a 2 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual foi a velocidade de lançamento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Diâmetro dos discos: \,D=5,0\\ \mathrm{cm}.
  • Logo o raio é \,r=\dfrac{D}{2}=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Separação entre as placas: \,d=2,0\\ \mathrm{mm}=2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Campo elétrico entre as placas (uniforme): \,E=5,0\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
O enunciado pede:
(a) A diferença de potencial através do capacitor (entre as placas).
(b) A carga em cada disco (módulo da carga).
(c) Se um elétron sai da placa negativa e atinge a placa positiva com velocidade final \,v_f=2,0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, qual foi a velocidade de lançamento \,v_i (velocidade inicial)?

Passo 2

(a) Relação entre campo elétrico uniforme e diferença de potencial.
A regra física usada: para um campo elétrico uniforme entre placas paralelas a diferença de potencial é dada por
\Delta V = E\,d,
onde
  • \Delta V é a diferença de potencial (potencial da placa positiva menos o da negativa) em volts,
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m},
  • d é a distância entre as placas em \mathrm{m}.
Substituindo os valores dados:
\Delta V = \left(5,0\times10^{2}\right)\left(2,0\times10^{-3}\right)\\ \mathrm{V}.
Calcule:
\Delta V = 5,0\times10^{2}\times2,0\times10^{-3}= (5,0\times2,0)\times10^{2-3}=10,0\times10^{-1}=1,0\\ \mathrm{V}.
Portanto a diferença de potencial entre as placas é \,1,0\\ \mathrm{V}.

Passo 3

(b) Carga em cada disco — usando a capacitância aproximada de placas paralelas.
Para placas circulares com separação muito menor que o raio é comum aproximar a capacitância por
C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d},
onde
  • C é a capacitância em farads,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • A é a área de uma placa em \mathrm{m^2},
  • d é a separação em \mathrm{m}.
Calcule a área da placa (círculo de raio r):
A=\pi r^2=\pi(0,025)^2=\pi\times6,25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Numericamente:
A\approx 3,1416\times6,25\times10^{-4}=1,9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Agora a capacitância:
C=\dfrac{8,85\times10^{-12}\times1,9635\times10^{-3}}{2,0\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.
Simplificando a razão A/d:
\dfrac{A}{d}=\dfrac{1,9635\times10^{-3}}{2,0\times10^{-3}}=0,98175.
Logo
C\approx8,85\times10^{-12}\times0,98175\\ \mathrm{F}\approx8,69\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
A carga em cada placa (módulo) é
Q=C\,\Delta V.
Substituindo:
Q\approx\left(8,69\times10^{-12}\right)\left(1,0\right)\\ \mathrm{C}=8,69\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Arredondando de forma coerente com os dados, podemos escrever Q\approx8,7\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Observação rápida: esta é uma aproximação que despreza efeitos de borda (franja), que é aceitável quando d é bem menor que o raio.

Passo 4

(c) Velocidade inicial do elétron — conservação da energia (aproximação não relativística).
Princípio físico: o trabalho da força elétrica ao deslocar o elétron entre as placas se transforma em variação de energia cinética. Tomando a placa negativa como ponto inicial e a positiva como final, o elétron ganha energia e\Delta V (onde e é o módulo da carga do elétron) ao ir da negativa para a positiva. Assim:
\frac{1}{2}m_e v_f^2=\frac{1}{2}m_e v_i^2 + e\,\Delta V,
onde
  • m_e=9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} é a massa do elétron,
  • e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} é o módulo da carga do elétron,
  • v_i é a velocidade inicial (o que queremos),
  • v_f=2,0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} é a velocidade final dada,
  • \Delta V é a diferença de potencial (já calculada \,1,0\\ \mathrm{V}).
Isolando v_i:
v_i^2=v_f^2 - \dfrac{2e\,\Delta V}{m_e}.
Calcule o termo elétrico:
2e\,\Delta V = 2\times(1,602\times10^{-19})\times1,0 = 3,204\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Dividindo por m_e:
\dfrac{2e\,\Delta V}{m_e}=\dfrac{3,204\times10^{-19}}{9,109\times10^{-31}}\\ \mathrm{m^2/s^2}\approx3,52\times10^{11}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora v_f^2=(2,0\times10^{7})^2=4,00\times10^{14}\\ \mathrm{m^2/s^2}. Então
v_i^2=4,00\times10^{14}-3,52\times10^{11}=3,99648\times10^{14}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Portanto
v_i=\sqrt{3,99648\times10^{14}}\\ \mathrm{m/s}\approx1,9986\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário sobre validade: v_f e v_i são muito menores que a velocidade da luz c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, logo a aproximação não relativística (energia cinética clássica) é adequada.

Passo 5

Resumo final e incentivo: deu trabalho, mas as contas principais são simples — diferença de potencial por E\,d, carga por Q=C\Delta V com C\approx\varepsilon_0A/d, e velocidade inicial por conservação de energia. Mandou bem por trazer o exercício — é exatamente o tipo de conta que cai na prova. Vamos com foco que você consegue!

Resposta

(a) 1,0\\ \mathrm{V}
(b) 8,7\times10^{-12}\\ \mathrm{C}
(c) 1,9986\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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