Questão 7. Quando um sólido é submetido a uma variação de temperatura \Delta T, verifica-se experimentalmente que as suas três dimensões sofrem variações. No entanto, dependendo da geometria do sólido, uma ou até duas dimensões apresentam variações desprezíveis. É o caso dos tubos metálicos finos e longos. A partir de uma constatação empírica, sabemos que a dilatação linear vale:
\Delta L=\alpha L_{0} \Delta T
em que \alpha é o coeficiente linear de dilatação térmica do material, L_{0} é o comprimento inicial do tubo e \Delta T a variação de temperatura sofrida por ele. A tabela abaixo mostra dados de \Delta L e T para um tubo de um determinado material de comprimento inicial L_{0}=(45,5 \pm 0,05) cm em um ambiente a temperatura T_{i}=30{ }^{\circ} C.
\Delta L( \pm 0,0005 \mathrm{~cm}) T\left( \pm 0,5^{\circ} \mathrm{C}\right)
0,055 92
0,050 88
0,045 80
0,040 77
0,035 72
0,030 65
0,025 59
A partir da tabela acima, plote o gráfico \Delta L x \Delta T e calcule o valor de \alpha graficamente. Além disso, calcule o erro propagado de \alpha.
Adote:
Seja f(x, y, z) \operatorname{com} x, y e z contendo erros associados, então o erro de f(x, y, z) será:
\Delta_{f}^{2}=\left(\frac{\partial f(x, y, z)}{\partial x}\right)^{2} \cdot \Delta x^{2}+\left(\frac{\partial f(x, y, z)}{\partial y}\right)^{2} \cdot \Delta y^{2}+\left(\frac{\partial f(x, y, z)}{\partial z}\right)^{2} \cdot \Delta z^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) plotar o gráfico \Delta L versus \Delta T e obter, graficamente, o coeficiente de dilatação linear \alpha; (2) calcular o erro propagado de \alpha.\n
Informações e dados fornecidos (peguei todos estes valores da tabela dada no enunciado):
L_{0}=(45,5\pm0,05)\,\mathrm{cm},\qquad T_{i}=30^\circ\mathrm{C}.
A tabela dá os pares \Delta L (com erro \pm0,0005\,\mathrm{cm}) e T (com erro \pm0,5^\circ\mathrm{C}):
\begin{array}{c|c} \Delta L\;(\mathrm{cm}) & T\;({}^\circ\mathrm{C})\\hline 0,055 & 92\\\\ 0,050 & 88\\\\ 0,045 & 80\\\\ 0,040 & 77\\\\ 0,035 & 72\\\\ 0,030 & 65\\\\ 0,025 & 59 \end{array}
Cálculo preliminar que vou usar: \Delta T=T-T_{i}. Vou usar os pares (\Delta T,\Delta L) obtidos da tabela para ajustar uma reta e extrair \alpha.\n
Observação: o enunciado dá a lei empírica
\Delta L=\alpha L_{0}\,\Delta T,
portanto o gráfico \Delta L versus \Delta T deve ser uma reta passando pela origem com coeficiente angular m=\alpha L_{0}. A partir do ajuste eu calculo \alpha=m/L_{0}.

Passo 2

Calcular os valores de \Delta T a partir da tabela (usei T_{i}=30^\circ\mathrm{C} e os T da tabela):
\begin{array}{c|c} T\;({}^\circ\mathrm{C}) & \Delta T\;({}^\circ\mathrm{C})\\hline 92 & 62\\\\ 88 & 58\\\\ 80 & 50\\\\ 77 & 47\\\\ 72 & 42\\\\ 65 & 35\\\\ 59 & 29 \end{array}
Logo os pares que usarei são (\Delta T,\Delta L):
(62,\,0,055),\\ (58,\,0,050),\\ (50,\,0,045),\\ (47,\,0,040),\\ (42,\,0,035),\\ (35,\,0,030),\\ (29,\,0,025).
(Expliquei explicitamente de onde vieram estes números: da tabela do enunciado.)

Passo 3

Explicar e escolher o método gráfico / ajuste: como a lei prevê \Delta L proporcional a \Delta T com intercepto zero, o ajuste linear apropriado é uma regressão linear forçada a passar pela origem. Para uma reta y=m x forçada pela origem, a fórmula do melhor ajuste (mínimos quadrados) para o coeficiente angular é
m=\frac{\sum_{i} x_{i} y_{i}}{\sum_{i} x_{i}^{2}},
em que x_{i}=\Delta T_{i} e y_{i}=\Delta L_{i}. Vou aplicar essa fórmula (isto é o “gráfico” interpretado numericamente; na prova você faria o mesmo traçando pontos e ajustando reta pela origem ou calculando esta fórmula).

Passo 4

Calcular as somas necessárias. Primeiro calculei x_{i}y_{i} e x_{i}^{2} para cada ponto (valores obtidos dos pares que escrevi no Passo 2):
\begin{aligned} \sum_{i} x_{i}y_{i} &=& 62\cdot0,055 + 58\cdot0,050 + 50\cdot0,045 + 47\cdot0,040 \\\ & & \qquad +\,42\cdot0,035 + 35\cdot0,030 + 29\cdot0,025 \\\ &=& 3,41 + 2,90 + 2,25 + 1,88 + 1,47 + 1,05 + 0,725 \\\ &=& 13,685\quad(\mathrm{cm}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) \end{aligned}
\begin{aligned} \sum_{i} x_{i}^{2} &=& 62^{2}+58^{2}+50^{2}+47^{2}+42^{2}+35^{2}+29^{2} \\\ &=& 3844+3364+2500+2209+1764+1225+841 \\\ &=& 15747\quad({}^\circ\mathrm{C}^{2}). \end{aligned}

Passo 5

Calcular o coeficiente angular m da reta (unidade: \mathrm{cm}/{}^\circ\mathrm{C}):
m=\frac{\sum x_{i}y_{i}}{\sum x_{i}^{2}}=\frac{13,685}{15747}=0,000869157\\ \mathrm{cm}/{}^\circ\mathrm{C}.
Explicação rápida: este m é exatamente a inclinação do gráfico \Delta L versus \Delta T forçada a passar pela origem.

Passo 6

Obter \alpha a partir de m. Como m=\alpha L_{0}, temos
\alpha=\frac{m}{L_{0}}=\frac{0,000869157}{45,5}=1,91112\times10^{-5}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
(Usei L_{0}=45,5\,\mathrm{cm}. Unidade de \alpha é ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.)

Passo 7

Agora vamos estimar o erro em m a partir do ajuste (necessário para propagar o erro em \alpha). Para regressão pela origem, a variância do erro residual é
\sigma^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i}(y_{i}-m x_{i})^{2},
com N=7 pontos. Primeiro calculei os resíduos r_{i}=y_{i}-m x_{i} e sua soma dos quadrados; os resultados numéricos foram:
\sum_{i}(y_{i}-m x_{i})^{2}\approx 6{,}99018\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}^{2}.
Logo
\sigma^{2}=\frac{6{,}99018\times10^{-6}}{6}=1{,}16503\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}^{2},
\sigma=\sqrt{1{,}16503\times10^{-6}}=0{,}0010794\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

A variância (incerteza) do coeficiente angular m no ajuste pela origem é
\mathrm{Var}(m)=\frac{\sigma^{2}}{\sum_{i} x_{i}^{2}}.
Substituindo os números:
\mathrm{Var}(m)=\frac{1{,}16503\times10^{-6}}{15747}=7{,}399\times10^{-11}\\ (\mathrm{cm}/{}^\circ\mathrm{C})^{2},
portanto o desvio padrão de m é
\Delta m=\sqrt{\mathrm{Var}(m)}=8{,}601\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}/{}^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: este é o erro estatístico associado ao ajuste da inclinação.

Passo 9

Propagar o erro de m e o erro de L_{0} para obter o erro em \alpha. Usando a fórmula de propagação (o enunciado já deu a regra), para \alpha(m,L_{0})=m/L_{0} temos
\Delta\alpha^{2}=\left(\frac{\partial \alpha}{\partial m}\right)^{2}\Delta m^{2}+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial L_{0}}\right)^{2}\Delta L_{0}^{2}.
As derivadas são \partial\alpha/\partial m=1/L_{0} e \partial\alpha/\partial L_{0}=-m/L_{0}^{2}. Assim
\Delta\alpha^{2}=\frac{\Delta m^{2}}{L_{0}^{2}}+\frac{m^{2}}{L_{0}^{4}}\Delta L_{0}^{2}.
Substituindo numericamente ( \Delta m=8{,}601\times10^{-6}\,\mathrm{cm}/{}^\circ\mathrm{C}, \Delta L_{0}=0{,}05\,\mathrm{cm}, L_{0}=45{,}5\,\mathrm{cm}, m=0{,}000869157):
\frac{\Delta m}{L_{0}}=\frac{8{,}601\times10^{-6}}{45{,}5}=1{,}89099\times10^{-7}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1},
\frac{m}{L_{0}^{2}}\Delta L_{0}=\frac{0{,}000869157}{(45{,}5)^{2}}\cdot0{,}05=2{,}099\times10^{-8}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Portanto
\Delta\alpha=\sqrt{(1{,}89099\times10^{-7})^{2}+(2{,}099\times10^{-8})^{2}}=1{,}903\times10^{-7}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 10

Arredondamentos e apresentação final: o valor calculado foi
\alpha=1{,}91112\times10^{-5}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}
com erro
\Delta\alpha=1{,}903\times10^{-7}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Conveniente expressar mantendo o erro com duas algarismos significativos e ajustando o valor central ao mesmo nível:
\alpha=(1{,}911\pm0{,}019)\times10^{-5}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

\alpha=(1{,}911\pm0{,}019)\times10^{-5}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}

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