Questão 7. Quando um sólido é submetido a uma variação de temperatura
, verifica-se experimentalmente que as suas três dimensões sofrem variações. No entanto, dependendo da geometria do sólido, uma ou até duas dimensões apresentam variações desprezíveis. É o caso dos tubos metálicos finos e longos. A partir de uma constatação empírica, sabemos que a dilatação linear vale:
em que
é o coeficiente linear de dilatação térmica do material,
é o comprimento inicial do tubo e
a variação de temperatura sofrida por ele. A tabela abaixo mostra dados de
e
para um tubo de um determinado material de comprimento inicial
0,05) cm em um ambiente a temperatura
.
0,055
92
0,050
88
0,045
80
0,040
77
0,035
72
0,030
65
0,025
59
A partir da tabela acima, plote o gráfico
e calcule o valor de
graficamente. Além disso, calcule o erro propagado de
.
Adote:
Seja
e
contendo erros associados, então o erro de
será:
|
|
|
| 0,055 | 92 |
| 0,050 | 88 |
| 0,045 | 80 |
| 0,040 | 77 |
| 0,035 | 72 |
| 0,030 | 65 |
| 0,025 | 59 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) plotar o gráfico
versus
e obter, graficamente, o coeficiente de dilatação linear
; (2) calcular o erro propagado de
.\n
Informações e dados fornecidos (peguei todos estes valores da tabela dada no enunciado):
Informações e dados fornecidos (peguei todos estes valores da tabela dada no enunciado):
A tabela dá os pares
(com erro
) e
(com erro
):
Cálculo preliminar que vou usar:
. Vou usar os pares
obtidos da tabela para ajustar uma reta e extrair
.\n
Observação: o enunciado dá a lei empírica
Observação: o enunciado dá a lei empírica
portanto o gráfico
versus
deve ser uma reta passando pela origem com coeficiente angular
. A partir do ajuste eu calculo
.
Passo 2
Calcular os valores de
a partir da tabela (usei
e os
da tabela):
Logo os pares que usarei são
:
(Expliquei explicitamente de onde vieram estes números: da tabela do enunciado.)
Passo 3
Explicar e escolher o método gráfico / ajuste: como a lei prevê
proporcional a
com intercepto zero, o ajuste linear apropriado é uma regressão linear forçada a passar pela origem. Para uma reta
forçada pela origem, a fórmula do melhor ajuste (mínimos quadrados) para o coeficiente angular é
em que
e
. Vou aplicar essa fórmula (isto é o “gráfico” interpretado numericamente; na prova você faria o mesmo traçando pontos e ajustando reta pela origem ou calculando esta fórmula).
Passo 4
Calcular as somas necessárias. Primeiro calculei
e
para cada ponto (valores obtidos dos pares que escrevi no Passo 2):
Passo 5
Calcular o coeficiente angular
da reta (unidade:
):
Explicação rápida: este
é exatamente a inclinação do gráfico
versus
forçada a passar pela origem.
Passo 6
Obter
a partir de
. Como
, temos
(Usei
. Unidade de
é
.)
Passo 7
Agora vamos estimar o erro em
a partir do ajuste (necessário para propagar o erro em
). Para regressão pela origem, a variância do erro residual é
com
pontos. Primeiro calculei os resíduos
e sua soma dos quadrados; os resultados numéricos foram:
Logo
Passo 8
A variância (incerteza) do coeficiente angular
no ajuste pela origem é
Substituindo os números:
portanto o desvio padrão de
é
Interpretação: este é o erro estatístico associado ao ajuste da inclinação.
Passo 9
Propagar o erro de
e o erro de
para obter o erro em
. Usando a fórmula de propagação (o enunciado já deu a regra), para
temos
As derivadas são
e
. Assim
Substituindo numericamente (
,
,
,
):
Portanto
Passo 10
Arredondamentos e apresentação final: o valor calculado foi
com erro
Conveniente expressar mantendo o erro com duas algarismos significativos e ajustando o valor central ao mesmo nível: