Determine o trabalho reversível de compressão isotérmica do ar, a 60^{\circ} \mathrm{F}, no processo de 40 atm a 220 atm . Dados: \mathrm{pc}=37,2 \mathrm{~atm} ; \mathrm{Tc}=239^{\circ} \mathrm{R} e R = 1,986 \mathrm{Btu} /\left(\mathrm{lbmol}-^{\circ} \mathrm{R}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o trabalho reversível de compressão isotérmica do ar, à temperatura 60^\circ\mathrm{F}, do estado de 40\\ \mathrm{atm} para 220\\ \mathrm{atm}.
Dados fornecidos:
T_{\text{given}} = 60^\circ\mathrm{F}, \quad P_1 = 40\\ \mathrm{atm}, \quad P_2 = 220\\ \mathrm{atm},
p_c = 37{,}2\\ \mathrm{atm},\quad T_c = 239^\circ\mathrm{R},\quad R = 1{,}986\\ \mathrm{Btu/(lbmol\cdot^\circ R)}.
Observação: o enunciado não informa a quantidade de ar; vou calcular o trabalho por unidade de quantidade, isto é, por 1\\ \mathrm{lbmol} (uma prática comum quando o enunciado não dá massa).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (de forma simples e prática): para compressão isotérmica reversível, a fórmula exata para um gás real envolve o fator de compressibilidade Z e uma integral de Z/P. No entanto, não foi fornecido nenhum diagrama de compressibilidade nem tabela de Z. Então opto por aproximar o ar como gás ideal e usar a expressão clássica para trabalho isotérmico reversível do gás ideal:
W = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Para gás ideal temos PV = nRT. Substituindo em W e integrando (com T constante) obtemos a fórmula usada em provas e cálculos:
W = nRT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Explicando cada símbolo:
  • W é o trabalho do processo (aqui trabalho de compressão, resultado positivo quando P_2>P_1 seguindo esta expressão);
  • n é a quantidade de substância em \mathrm{lbmol} (vou usar n=1\\ \mathrm{lbmol});
  • R é a constante universal dada ( 1{,}986\\ \mathrm{Btu/(lbmol\cdot^\circ R)});
  • T é a temperatura absoluta em graus Rankine ( ^\circ\mathrm{R});
  • P_1,P_2 são as pressões inicial e final.
Breve comentário didático sobre a escolha: para verificar se a aproximação ideal é razoável calculamos a temperatura reduzida
T_r=\frac{T}{T_c}.
Se T_r é significativamente maior que 1 (por exemplo >2), o comportamento tende a ficar mais próximo do ideal. Vou calcular T_r no passo seguinte para justificar (ou não) a aproximação.

Passo 3

Conversões e verificação de idealidade:
Converter 60^\circ\mathrm{F} para Rankine ( ^\circ\mathrm{R}):
T = 60 + 459{,}67 = 519{,}67^\circ\mathrm{R}.
Calcular a temperatura reduzida:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{519{,}67}{239}\approx 2{,}174.
Comentário: como T_r\approx 2{,}17 (maior que 2), o ar, àquela temperatura, tende a comportar-se de forma relativamente próxima ao ideal para pressões moderadas. Porém, a pressão final 220\\ \mathrm{atm} é alta (muito acima de p_c), então efeitos de não idealidade podem ser importantes; como não temos dados de Z fornecidos, a aproximação ideal é a escolha prática para resolver o exercício com os dados disponíveis.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo (usando n=1\\ \mathrm{lbmol}):
  1. Calcular R\,T:
R\,T = 1{,}986\\ \times\\\ 519{,}67 = 1032{,}06462\\ \mathrm{Btu}.
  1. Calcular o fator logarítmico:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!\left(\frac{220}{40}\right)=\ln(5{,}5)\approx 1{,}704748.
  1. Multiplicar para obter o trabalho:
W = nRT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = 1\cdot 1032{,}06462 \times 1{,}704748 \approx 1759{,}41\\ \mathrm{Btu}.

Passo 5

Interpretação do sinal e unidade: o valor calculado W\approx 1759{,}41\\ \mathrm{Btu} é o trabalho de compressão reversível isotérmica realizado SOBRE 1\\ \mathrm{lbmol} de ar (quando se usa a convenção W=nRT\ln(P_2/P_1) com P_2>P_1 obtemos um resultado positivo indicando energia fornecida ao gás). Se quiser o trabalho por massa, seria preciso dividir por a massa molar do ar (cerca de 28{,}97\\ \mathrm{lbm/lbmol}).

Resposta

\displaystyle W \approx 1759{,}4\\ \mathrm{Btu\\ (por\\\ 1\\ lbmol\\ de\\ ar)}

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