Questão 6: A solução do sistema de equações lineares:
equação 2: 2 x-3 y+8 z=7;
equação 3: 3 x-4 y+13 z=8, é: (assinale a alternativa correta)
(a) (0,0,0);
(b) (uma reta)
(c) (um ponto)
(d) não tem solução

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema formado por duas equações lineares nas incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} 2x-3y+8z=7,\\[4pt] 3x-4y+13z=8. \end{cases}
A pergunta é: qual é a natureza do conjunto solução? As alternativas são:
(a) ((0,0,0)];\quad (b) (uma reta);\quad (c) (um ponto);\quad (d) não tem solução.]

Passo 2

Vou resolver o sistema por eliminação (método das combinações lineares / eliminação de Gauss). Motivo: com duas equações e três incógnitas é direto eliminar uma incógnita e verificar se obtemos uma relação entre as outras duas; esse processo é simples e adequado para resolver sem calculadora. Explicando rapidamente a ideia do método: multiplicam-se equações por constantes e soma/subtrai-se para anular uma incógnita, reduzindo o sistema e isolando variáveis.

Passo 3

Eliminação para encontrar uma relação entre y e z. Faço 3 vezes a primeira equação e subtraio 2 vezes a segunda (assim os coeficientes de x ficam iguais em ambas e se anulam):
3\cdot(2x-3y+8z)=6x-9y+24z=21,
2\cdot(3x-4y+13z)=6x-8y+26z=16.
Agora subtraio a segunda igualdade da primeira:
(6x-9y+24z)-(6x-8y+26z)=21-16.

Passo 4

Faço a subtração termo a termo e simplifico:
6x-9y+24z-6x+8y-26z = 5.
Os 6x se cancelam, restando
-9y+8y+24z-26z = 5 \quad\Rightarrow\quad -y-2z=5.
Isolando y:
-y-2z=5 \quad\Rightarrow\quad y = -2z-5.

Passo 5

Agora substituo y em função de z numa das equações originais para obter x em função de z. Uso a primeira equação 2x-3y+8z=7. Substituindo y=-2z-5:
2x-3(-2z-5)+8z=7.
Calculo o produto:
2x +6z+15 +8z =7.
Agrupo termos em z e constantes:
2x +14z +15 =7.
Isolo x:
2x = 7-15-14z = -8-14z,
x = -7z -4.

Passo 6

Temos então x e y expressos em função de z:
x=-7z-4,\qquad y=-2z-5,\qquad z \text{ livre}.
Introduzo um parâmetro para deixar mais claro: seja t=z. Assim a solução geral é
(x,y,z)=(-7t-4,\,-2t-5,\;t).
Podemos reescrever em forma paramétrica separando a parte constante e a parte proporcional a t:
(x,y,z)=(-4,-5,0)+t(-7,-2,1).
Interpretação geométrica e argumento de grau de liberdade: como havia 3 incógnitas e 2 equações independentes, o espaço das soluções tem dimensão 3-2=1; isso significa uma reta em \mathbb{R}^3. Também verificou-se que não houve contradição (por exemplo 0= algo não nulo), então o sistema é consistente e tem infinitas soluções formando exatamente uma reta.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: as duas equações são compatíveis e independentes; sobredeterminam x e y em função de z livre. Logo o conjunto solução é uma reta (uma família unidimensional de pontos).

Resposta

(b) (uma reta)

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