Questão 6: A solução do sistema de equações lineares:
equação 2:
;
equação 3:
, é: (assinale a alternativa correta)
(a)
;
(b) (uma reta)
(c) (um ponto)
(d) não tem solução
equação 2:
equação 3:
(a)
(b) (uma reta)
(c) (um ponto)
(d) não tem solução
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema formado por duas equações lineares nas incógnitas
A pergunta é: qual é a natureza do conjunto solução? As alternativas são:
(a) ((0,0,0)];\quad (b) (uma reta);\quad (c) (um ponto);\quad (d) não tem solução.]
(a) ((0,0,0)];\quad (b) (uma reta);\quad (c) (um ponto);\quad (d) não tem solução.]
Passo 2
Vou resolver o sistema por eliminação (método das combinações lineares / eliminação de Gauss). Motivo: com duas equações e três incógnitas é direto eliminar uma incógnita e verificar se obtemos uma relação entre as outras duas; esse processo é simples e adequado para resolver sem calculadora. Explicando rapidamente a ideia do método: multiplicam-se equações por constantes e soma/subtrai-se para anular uma incógnita, reduzindo o sistema e isolando variáveis.
Passo 3
Eliminação para encontrar uma relação entre
e
. Faço
vezes a primeira equação e subtraio
vezes a segunda (assim os coeficientes de
ficam iguais em ambas e se anulam):
Agora subtraio a segunda igualdade da primeira:
Passo 4
Faço a subtração termo a termo e simplifico:
Os
se cancelam, restando
Isolando
:
Passo 5
Agora substituo
em função de
numa das equações originais para obter
em função de
. Uso a primeira equação
. Substituindo
:
Calculo o produto:
Agrupo termos em
e constantes:
Isolo
:
Passo 6
Temos então
e
expressos em função de
:
Introduzo um parâmetro para deixar mais claro: seja
. Assim a solução geral é
Podemos reescrever em forma paramétrica separando a parte constante e a parte proporcional a
:
Interpretação geométrica e argumento de grau de liberdade: como havia
incógnitas e
equações independentes, o espaço das soluções tem dimensão
; isso significa uma reta em
. Também verificou-se que não houve contradição (por exemplo
algo não nulo), então o sistema é consistente e tem infinitas soluções formando exatamente uma reta.
Passo 7
Resumo final do raciocínio: as duas equações são compatíveis e independentes; sobredeterminam
e
em função de
livre. Logo o conjunto solução é uma reta (uma família unidimensional de pontos).
Resposta
(b) (uma reta)