Questāo 5: Use a regra de Cramer, para resolver o sistema linear:
equação 1: 3 y+2 x=z+1;
equação 2: 3 x+2 z=8-5 y;
equação 3: 3 z-1=x-2 y.
Passo 1
O enunciado pede: “Use a regra de Cramer para resolver o sistema linear” e fornece três equações envolvendo as incógnitas x, y e z:
\text{equação 1: }3 y+2 x=z+1;
\text{equação 2: }3 x+2 z=8-5 y;
\text{equação 3: }3 z-1=x-2 y.
O objetivo final é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Passo 2
Primeiro vamos reorganizar cada equação para colocar o sistema na forma padrão [,A\mathbf{v}=\mathbf{b},) (ou seja, os termos com x,y,z no lado esquerdo e termos constantes no lado direito). Isso facilita montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes.
Reescrevendo as equações:
Da equação 1: 3y+2x=z+1 => passar z para o lado esquerdo:
2x+3y-z=1.
Da equação 2: 3x+2z=8-5y => passar -5y para o lado esquerdo:
3x+5y+2z=8.
Da equação 3: 3z-1=x-2y => passar x e -2y para o lado esquerdo:
onde A_x é a matriz obtida de A substituindo a primeira coluna por \mathbf{b}, A_y substitui a segunda coluna por \mathbf{b} e A_z substitui a terceira coluna por \mathbf{b}.
Aqui \det(\cdot) é o determinante da matriz; para matrizes 3\times3 uma forma direta de calcular é a regra de Sarrus (vou usar ela e mostrar cada termo).
Passo 4
Calcular o determinante D=\det(A). Usando A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]3 & 5 & 2\\[4pt]-1 & 2 & 3\end{pmatrix} e a regra de Sarrus: