Questāo 5: Use a regra de Cramer, para resolver o sistema linear:
equação 1: 3 y+2 x=z+1;
equação 2: 3 x+2 z=8-5 y;
equação 3: 3 z-1=x-2 y.

Passo 1

O enunciado pede: “Use a regra de Cramer para resolver o sistema linear” e fornece três equações envolvendo as incógnitas x, y e z:
\text{equação 1: }3 y+2 x=z+1;çã
\text{equação 2: }3 x+2 z=8-5 y;çã
\text{equação 3: }3 z-1=x-2 y.çã
O objetivo final é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar cada equação para colocar o sistema na forma padrão [,A\mathbf{v}=\mathbf{b},) (ou seja, os termos com x,y,z no lado esquerdo e termos constantes no lado direito). Isso facilita montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes.
Reescrevendo as equações:
  • Da equação 1: 3y+2x=z+1 => passar z para o lado esquerdo:
2x+3y-z=1.
  • Da equação 2: 3x+2z=8-5y => passar -5y para o lado esquerdo:
3x+5y+2z=8.
  • Da equação 3: 3z-1=x-2y => passar x e -2y para o lado esquerdo:
-x+2y+3z=1.
Assim obtemos o sistema linear na forma padrão:
\begin{cases} 2x+3y-1z=1,\\[4pt] 3x+5y+2z=8,\\[4pt] -1x+2y+3z=1. \end{cases}
Daqui, a matriz dos coeficientes A\] e o vetor \(\mathbf{b} são:
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt] 3 & 5 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]8\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora uma “aula rápida” sobre a regra de Cramer (explicando cada símbolo e a ideia):
  • Se temos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas na forma A\mathbf{v}=\mathbf{b}, com \mathbf{v}=(x,y,z)^\top,
  • A regra de Cramer diz que, se \det(A)\neq0, então a solução é dada por
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida de A substituindo a primeira coluna por \mathbf{b}, A_y substitui a segunda coluna por \mathbf{b} e A_z substitui a terceira coluna por \mathbf{b}.
  • Aqui \det(\cdot) é o determinante da matriz; para matrizes 3\times3 uma forma direta de calcular é a regra de Sarrus (vou usar ela e mostrar cada termo).

Passo 4

Calcular o determinante D=\det(A). Usando A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]3 & 5 & 2\\[4pt]-1 & 2 & 3\end{pmatrix} e a regra de Sarrus:
D= \begin{vmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]3 & 5 & 2\\[4pt]-1 & 2 & 3\end{vmatrix} = (2\cdot5\cdot3) + (3\cdot2\cdot(-1)) + ((-1)\cdot3\cdot2) - \big( (-1)\cdot5\cdot(-1) + 2\cdot2\cdot2 + 3\cdot3\cdot3 \big).
Agora calculando cada produto:
(2\cdot5\cdot3)=30,\qquad (3\cdot2\cdot(-1))=-6,\qquad ((-1)\cdot3\cdot2)=-6.
Soma dos três primeiros: 30-6-6=18.
Subtraindo os outros produtos:
(-1)\cdot5\cdot(-1)=5,\quad 2\cdot2\cdot2=8,\quad 3\cdot3\cdot3=27,
soma = 5+8+27=40.
Portanto
D=18-40=-22.
Como D\neq0 (D=-22), a regra de Cramer garante solução única.]

Passo 5

Calcular D_x=\det(A_x), onde A_x é A com a primeira coluna substituída por \mathbf{b}:
A_x=\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\[4pt]8 & 5 & 2\\[4pt]1 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Usando Sarrus:
D_x=(1\cdot5\cdot3)+(3\cdot2\cdot1)+((-1)\cdot8\cdot2) - \big( (-1)\cdot5\cdot1 + 1\cdot2\cdot2 + 3\cdot8\cdot3 \big).
Calculemos:
1\cdot5\cdot3=15,\quad 3\cdot2\cdot1=6,\quad (-1)\cdot8\cdot2=-16,
soma dos três primeiros: 15+6-16=5.
Outros produtos:
(-1)\cdot5\cdot1=-5,\quad 1\cdot2\cdot2=4,\quad 3\cdot8\cdot3=72,
soma = -5+4+72=71.
Logo
D_x=5-71=-66.
Assim
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-66}{-22}=3.]

Passo 6

Calcular D_y=\det(A_y), onde substituímos a segunda coluna por \mathbf{b}:
A_y=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]3 & 8 & 2\\[4pt]-1 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Regra de Sarrus:
D_y=(2\cdot8\cdot3)+(1\cdot2\cdot(-1))+((-1)\cdot3\cdot1) - \big( (-1)\cdot8\cdot(-1) + 2\cdot2\cdot1 + 1\cdot3\cdot3 \big).
Calculemos:
2\cdot8\cdot3=48,\quad 1\cdot2\cdot(-1)=-2,\quad (-1)\cdot3\cdot1=-3,
soma = 48-2-3=43.
Outros:
(-1)\cdot8\cdot(-1)=8,\quad 2\cdot2\cdot1=4,\quad 1\cdot3\cdot3=9,
soma = 8+4+9=21.
Portanto
D_y=43-21=22.
Logo
y=\frac{D_y}{D}=\frac{22}{-22}=-1.]

Passo 7

Calcular D_z=\det(A_z), substituindo a terceira coluna por \mathbf{b}:
A_z=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\[4pt]3 & 5 & 8\\[4pt]-1 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Regra de Sarrus:
D_z=(2\cdot5\cdot1)+(3\cdot8\cdot(-1))+(1\cdot3\cdot2) - \big( 1\cdot5\cdot(-1) + 2\cdot8\cdot2 + 3\cdot3\cdot1 \big).
Calculemos:
2\cdot5\cdot1=10,\quad 3\cdot8\cdot(-1)=-24,\quad 1\cdot3\cdot2=6,
soma = 10-24+6=-8.
Outros:
1\cdot5\cdot(-1)=-5,\quad 2\cdot8\cdot2=32,\quad 3\cdot3\cdot1=9,
soma = -5+32+9=36.
Assim
D_z=-8-36=-44.
Portanto
z=\frac{D_z}{D}=\frac{-44}{-22}=2.]

Passo 8

Verificação rápida (substituir na forma original das equações para ganhar confiança):
  • Equação 1: 3y+2x=z+1 \Rightarrow 3(-1)+2\cdot3 = 2+1 \Rightarrow -3+6=3 e z+1=2+1=3. OK.
  • Equação 2: 3x+2z=8-5y \Rightarrow 3\cdot3+2\cdot2 = 8-5(-1) \Rightarrow 9+4=13 e 8+5=13. OK.
  • Equação 3: 3z-1 = x-2y \Rightarrow 3\cdot2-1 = 3-2(-1) \Rightarrow 6-1=5 e 3+2=5. OK.
Tudo confere.

Resposta

x=3
y=-1
z=2

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