Questão 2.
Suponha que o número de partículas provenientes de uma fonte radioativa que são detectadas por um contador durante
segundos(s) seja uma variável aleatória
com função de probabilidades
(a)
Determine o valor de cem função de
;
(b)
Determine a probabilidade de ocorrer ho menos uma detecção no período de 10 milisegundos (1
).
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidades
e pede duas coisas:
(a) Determinar o valor de
em função de
.
(b) Calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos uma detecção em um período de
milissegundos, lembrando que
.
Informações relevantes que temos: a variável aleatória
toma valores inteiros não negativos; a constante
pode depender de
; para a parte (b) o tempo pedido é
. Neste passo apenas organizamos o que é pedido e quais dados temos — não resolvemos ainda.
Passo 2
Regra básica de qualquer função de probabilidade: as probabilidades de todos os valores possíveis devem somar
. Então devemos usar a condição de normalização
Substituindo
obtemos
Tirando
fora da soma:
Passo 3
Agora precisamos saber o valor da soma
. Isto é uma série conhecida: para qualquer
,
onde
é a base do logaritmo natural. Essa identidade vem da expansão em série da função exponencial. Aplicando com
obtemos
Substituindo na condição de normalização resulta
Passo 4
Isolando
da equação
, temos
Esta é a constante de normalização em função de
. (Interpretando: a distribuição dada é a distribuição de Poisson com parâmetro
; a forma padrão da Poisson é
.)
Passo 5
Para a parte (b) queremos a probabilidade de ocorrer pelo menos uma detecção em
ms, isto é
quando
. Uma técnica muito útil é usar o complementar:
Usando a fórmula da probabilidade com
:
Como já achamos
, segue
Passo 6
Agora substituímos
. Calculamos
. Portanto a probabilidade pedida é
Queremos também uma aproximação numérica. Podemos obter
pela expansão em série truncada:
Calculando alguns termos:
Com mais termos converge para
. Assim
Arredondando,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)