Questão 2. (2,5) Suponha que o número de partículas provenientes de uma fonte radioativa que são detectadas por um contador durante t segundos(s) seja uma variável aleatória X com função de probabilidades
P(X=k)=c \frac{(25 t)^{k}}{k!}, \quad k=0,1,2, \ldots
(a) (1,5) Determine o valor de cem função de t;
(b) (1,0) Determine a probabilidade de ocorrer ho menos uma detecção no período de 10 milisegundos (1 m s=0,001 s ).

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidades
P(X=k)=c\frac{(25\,t)^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots
e pede duas coisas:
(a) Determinar o valor de c em função de t.
(b) Calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos uma detecção em um período de 10 milissegundos, lembrando que 1\\ \text{ms}=0,001\\ \text{s}.
Informações relevantes que temos: a variável aleatória X toma valores inteiros não negativos; a constante c pode depender de t; para a parte (b) o tempo pedido é 10\\ \text{ms}=0,01\\ \text{s}. Neste passo apenas organizamos o que é pedido e quais dados temos — não resolvemos ainda.

Passo 2

Regra básica de qualquer função de probabilidade: as probabilidades de todos os valores possíveis devem somar 1. Então devemos usar a condição de normalização
\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k)=1.
Substituindo P(X=k) obtemos
\sum_{k=0}^{\infty} c\frac{(25\,t)^{k}}{k!}=1.
Tirando c fora da soma:
c\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(25\,t)^{k}}{k!}=1.

Passo 3

Agora precisamos saber o valor da soma \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{k}}{k!}. Isto é uma série conhecida: para qualquer x\in\mathbb{R},
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x},
onde e é a base do logaritmo natural. Essa identidade vem da expansão em série da função exponencial. Aplicando com x=25\,t obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(25\,t)^{k}}{k!}=e^{25\,t}.
Substituindo na condição de normalização resulta
c\,e^{25\,t}=1.

Passo 4

Isolando c da equação c\,e^{25\,t}=1, temos
c=e^{-25\,t}.
Esta é a constante de normalização em função de t. (Interpretando: a distribuição dada é a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=25\,t; a forma padrão da Poisson é P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}.)

Passo 5

Para a parte (b) queremos a probabilidade de ocorrer pelo menos uma detecção em 10 ms, isto é \Pr(X\ge 1) quando t=0,01\\ \text{s}. Uma técnica muito útil é usar o complementar:
\Pr(X\ge 1)=1-\Pr(X=0).
Usando a fórmula da probabilidade com k=0:
\Pr(X=0)=c\frac{(25\,t)^{0}}{0!}=c.
Como já achamos c=e^{-25\,t}, segue
\Pr(X\ge 1)=1-e^{-25\,t}.

Passo 6

Agora substituímos t=10\\ \text{ms}=0,01\\ \text{s}. Calculamos 25\,t=25\cdot 0,01=0,25. Portanto a probabilidade pedida é
\Pr(X\ge 1)=1-e^{-0,25}.
Queremos também uma aproximação numérica. Podemos obter e^{-0,25} pela expansão em série truncada:
e^{-0,25}=1-0,25+\frac{0,25^{2}}{2!}-\frac{0,25^{3}}{3!}+\frac{0,25^{4}}{4!}-\cdots
Calculando alguns termos:
1-0,25=0,75,
\frac{0,25^{2}}{2}= \frac{0,0625}{2}=0,03125 \quad\Rightarrow\quad 0,75+0,03125=0,78125,
\frac{0,25^{3}}{6}=\frac{0,015625}{6}\approx 0,00260417 \quad\Rightarrow\quad 0,78125-0,00260417\approx0,77864583,
\frac{0,25^{4}}{24}=\frac{0,00390625}{24}\approx0,00016276 \quad\Rightarrow\quad 0,77864583+0,00016276\approx0,77880859.
Com mais termos converge para e^{-0,25}\approx 0,77880078. Assim
\Pr(X\ge 1)=1-0,77880078\approx0,22119922.
Arredondando, \Pr(X\ge 1)\approx0,2212.

Resposta

(a) c(t)=e^{-25\,t}
(b) \Pr(X\ge 1\\ \text{em}\\\ 10\\ \text{ms})=1-e^{-0,25}\approx0,2212

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