Questão 3. (1,5) Seja X o número de imperfeições em um circuito eletrônico cuja distribuição é dada pela tabela abaixo.
x 0 1 2 3
P\{X=x\} 0,1 0,4 0,4 0,1
Determine os valores numéricos de E[X], E\left[X^{2}\right] e E\left[(X-1,5)^{2}\right].

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de X com os valores possíveis e suas probabilidades, e pede três quantidades numéricas:
\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3\\hline P\{X=x\} & 0,1 & 0,4 & 0,4 & 0,1 \end{array}
As perguntas são:
  • Determinar E[X].
  • Determinar E\left[X^{2}\right].
  • Determinar E\left[(X-1,5)^{2}\right].

Passo 2

Definição e ideia para calcular E[X]. Para uma v.a. discreta X que assume valores \{x_i\} com probabilidades P\{X=x_i\}, a esperança (valor esperado) é
E[X]=\sum_i x_i\,P\{X=x_i\}.
Aqui x_i são os valores que X pode assumir e P\{X=x_i\} é a probabilidade correspondente. Na prática multiplicamos cada valor x pela sua probabilidade e somamos tudo. Vou aplicar isso diretamente aos valores da tabela.

Passo 3

Cálculo de E[X] passo a passo usando os pares da tabela:
E[X]=0\cdot 0,1 + 1\cdot 0,4 + 2\cdot 0,4 + 3\cdot 0,1.
Agora calculo cada termo:
0\cdot 0,1=0,\quad 1\cdot 0,4=0,4,\quad 2\cdot 0,4=0,8,\quad 3\cdot 0,1=0,3.
Somando:
E[X]=0+0,4+0,8+0,3=1,5.

Passo 4

Definição e cálculo de E\left[X^{2}\right]. A fórmula análoga é
E\left[X^{2}\right]=\sum_i x_i^{2}\,P\{X=x_i\}.
Aqui elevamos cada valor x ao quadrado antes de multiplicar pela probabilidade. Aplicando à tabela:
E\left[X^{2}\right]=0^{2}\cdot 0,1 + 1^{2}\cdot 0,4 + 2^{2}\cdot 0,4 + 3^{2}\cdot 0,1.
Compute os termos:
0^{2}\cdot 0,1=0,\quad 1^{2}\cdot 0,4=0,4,\quad 2^{2}\cdot 0,4=4\cdot 0,4=1,6,\quad 3^{2}\cdot 0,1=9\cdot 0,1=0,9.
Somando:
E\left[X^{2}\right]=0+0,4+1,6+0,9=2,9.

Passo 5

Cálculo da variância (ajuda para o próximo item) e revisão das fórmulas úteis. A variância de X é
\operatorname{Var}(X)=E\left[X^{2}\right] - \big(E[X]\big)^{2}.
Substituindo os valores já obtidos:
\operatorname{Var}(X)=2,9 - (1,5)^{2}=2,9 - 2,25=0,65.
Significado: \operatorname{Var}(X) é o valor esperado do quadrado do desvio de X em relação à sua média.

Passo 6

Fórmula para E\big[(X-a)^{2}\big] e aplicação com a=1,5. Em geral
E\big[(X-a)^{2}\big]=E[X^{2}] - 2aE[X] + a^{2}.
Rearranjando fica também
E\big[(X-a)^{2}\big]=\operatorname{Var}(X) + \big(E[X]-a\big)^{2}.
No nosso caso a=1,5 e já encontramos E[X]=1,5, então \big(E[X]-1,5\big)^{2}=0. Logo
E\big[(X-1,5)^{2}\big]=\operatorname{Var}(X)+0=0,65.

Passo 7

Verificação direta (cálculo por definição) para reforçar o entendimento. Calculo direto de E\big[(X-1,5)^{2}\big]=\sum (x-1,5)^{2}P\{X=x\}:
\begin{aligned} (x=0):&\\ (0-1,5)^{2}=2,25\quad\Rightarrow\\\ 2,25\cdot 0,1=0,225,\\\ (x=1):&\\ (1-1,5)^{2}=0,25\quad\Rightarrow\\\ 0,25\cdot 0,4=0,1,\\\ (x=2):&\\ (2-1,5)^{2}=0,25\quad\Rightarrow\\\ 0,25\cdot 0,4=0,1,\\\ (x=3):&\\ (3-1,5)^{2}=2,25\quad\Rightarrow\\\ 2,25\cdot 0,1=0,225. \end{aligned}
Somando os termos:
E\big[(X-1,5)^{2}\big]=0,225+0,1+0,1+0,225=0,65,
confirmando o resultado obtido pelo uso da variância.

Resposta

E[X]=1,5
E\left[X^{2}\right]=2,9
E\left[(X-1,5)^{2}\right]=0,65

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