Questão 3.
Seja
o número de imperfeições em um circuito eletrônico cuja distribuição é dada pela tabela abaixo.
0
1
2
3
0,1
0,4
0,4
0,1
Determine os valores numéricos de
e
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
0,1 | 0,4 | 0,4 | 0,1 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de
com os valores possíveis e suas probabilidades, e pede três quantidades numéricas:
As perguntas são:
- Determinar
. - Determinar
. - Determinar
.
Passo 2
Definição e ideia para calcular
. Para uma v.a. discreta
que assume valores
com probabilidades
, a esperança (valor esperado) é
Aqui
são os valores que
pode assumir e
é a probabilidade correspondente. Na prática multiplicamos cada valor
pela sua probabilidade e somamos tudo. Vou aplicar isso diretamente aos valores da tabela.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo usando os pares da tabela:
Agora calculo cada termo:
Somando:
Passo 4
Definição e cálculo de
. A fórmula análoga é
Aqui elevamos cada valor
ao quadrado antes de multiplicar pela probabilidade. Aplicando à tabela:
Compute os termos:
Somando:
Passo 5
Cálculo da variância (ajuda para o próximo item) e revisão das fórmulas úteis. A variância de
é
Substituindo os valores já obtidos:
Significado:
é o valor esperado do quadrado do desvio de
em relação à sua média.
Passo 6
Fórmula para
e aplicação com
. Em geral
Rearranjando fica também
No nosso caso
e já encontramos
, então
. Logo
Passo 7
Verificação direta (cálculo por definição) para reforçar o entendimento. Calculo direto de
:
Somando os termos:
confirmando o resultado obtido pelo uso da variância.