Questão 1. Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f ?
f_{x x}(1,1)=-6, f_{x y}(1,1)=0, f_{y y}(1,1)=8

Passo 1

O enunciado afirma que (1,1) é ponto crítico de uma função f de classe C^2 (derivadas de segunda ordem contínuas) e fornece
f_{xx}(1,1) = -6,\quad f_{xy}(1,1)=0,\quad f_{yy}(1,1)=8.
O objetivo é classificar esse ponto crítico usando o teste das segundas derivadas (Hessiano).

Passo 2

No teste das segundas derivadas definimos o discriminante
D = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl(f_{xy}(1,1)\bigr)^{2}.
Substituindo os valores dados:
D = (-6)\cdot 8 - 0^{2} = -48.

Passo 3

Como D<0, o Hessiano de f em (1,1) é indefinido, o que indica que não há nem mínimo nem máximo local ali, mas sim um ponto de sela.

Resposta

Em (1,1) a função f tem um ponto de sela.

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