Questão 2: Um tanque esférico de raio 1 m contendo água está sendo esvaziado à taxa de 10 litros por segundo. Qual será a taxa de variação da altura da coluna d’água no tanque quando o volume de água contido no tanque for igual a 1 m^3 ?
Observação: O volume da calota esférica de altura h, em uma esfera de raio r, é dado por: V=13 pi h^2(3 r-h)é

Passo 1

O enunciado pede a variação da altura h(t) da água num tanque esférico de raio r=1 m quando o volume V(t) está diminuindo à taxa de tfracdVdt=-10 L/s. Aqui o conteúdo é de related rates: relacionar tfracdVdt e tfracdhdt usando a fórmula do volume de uma calota esférica.

Passo 2

A calota de altura h numa esfera de raio r tem volume
V=13,pi,h^2l(3r-hr)
Substituindo r=1,
V(h)=13,pi,h^2l(3 - hr) =pi3l(3h^2-h^3r)

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t (regra da cadeia):
dVdt =pi3,ddtl(3h^2-h^3r) =pi3l(6h,dhdt-3h^2,dhdtr) =pi,l(2h - h^2r),dhdt
Logo,
dhdt =dVdtpi,(2h - h^2)

Passo 4

Precisamos de h quando V=1 m³. Da expressão de V(h):
pi3l(3h^2-h^3r)=1 Longrightarrow 3h^2-h^3=3pi
Resolvendo numericamente (e escolhendo a raiz que fica em [0,2]), encontra-se
happrox0,635 m

Passo 5

Convertendo tfracdVdt=-10 L/s para m^3/s:
dVdt=-10 L/s=-0,01 m^3!/s
Substituindo em
dhdt=-0,01pi,(2cdot0,635 - 0,635^2),
temos
2cdot0,635 - 0,635^2=1,27 - 0,403225=0,866775,
dhdt approx-0,01pitimes0,866775 approx -3,67times10^-3 m/s

Resposta

A altura da coluna de água está variando na taxa aproximadamente
dhdtapprox -3,67times10^-3 m/s

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