Questão 2) Um tanque retangular possui duas regiões: Região A com 0,5 \mathrm{~m}^{3} contendo 1 kg de ar e Região B com 0,5 \mathrm{~m}^{3} contendo ar a uma massa específica de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A membrana que separa as regiões é rompida e o ar se mistura de forma homogênea. a) Determine a massa específica final do ar ocupando todo o volume. [1,0] b) Se ao final, for cuidadosamente colocado um cubo sólido de 0,3 \mathrm{~m}^{3} dentro do tanque, de forma a evitar que o ar possa sair, qual seria a nova massa específica? [ \mathbf{0 , 5} ]

Passo 1

O enunciado descreve um tanque retangular com duas regiões separadas por uma membrana que é rompida. As informações dadas são:
\;V_A = 0,5\\ \mathrm{m}^3 (Volume da região A)
\;m_A = 1,0\\ \mathrm{kg} (Massa de ar em A)
\;V_B = 0,5\\ \mathrm{m}^3 (Volume da região B)
\;\rho_B = 1,0\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} (Massa específica do ar em B)
Após a ruptura da membrana o ar se mistura homogênea e completamente em todo o volume do tanque. Perguntas:
a) Determinar a massa específica final do ar ocupando todo o volume.
b) Se, depois, for colocado dentro do tanque um cubo sólido de 0,3\\ \mathrm{m}^3 sem deixar o ar escapar, qual será a nova massa específica do ar?

Passo 2

Conceitos fundamentais que precisamos usar (explicadinho como se eu estivesse do seu lado):
  • Massa específica (densidade) é definida por \displaystyle \rho=\frac{m}{V}, onde \;m é a massa (em kg) e \;V é o volume (em \mathrm{m}^3). Sempre verifique as unidades.
  • Conservação da massa: se o sistema é fechado (o ar não sai do tanque), a massa total de ar permanece constante quando as regiões se misturam ou quando inserimos um sólido (desde que o ar não escape). Isso significa que podemos somar massas das partes para obter a massa total.
Agora calculamos a massa do ar que estava na região B (usei a fórmula \rho=m/V resolvendo para m):
m_B=\rho_B V_B = 1{,}0\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 0{,}5\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}5\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Somamos as massas para obter a massa total de ar antes da mistura (conservação da massa):
m_{\text{tot}} = m_A + m_B = 1{,}0\\ \mathrm{kg} + 0{,}5\\ \mathrm{kg} = 1{,}5\\ \mathrm{kg}.
O volume total do tanque (antes de inserir qualquer sólido) é
V_{\text{tot}} = V_A + V_B = 0{,}5\\ \mathrm{m}^3 + 0{,}5\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}0\\ \mathrm{m}^3.
A massa específica final após a mistura homogênea é
\rho_{\text{final}}=\frac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{tot}}}=\frac{1{,}5}{1{,}0}=1{,}5\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
Interpretação curta: fizemos a conta direto — massa somada dividida pelo volume total. Simples e seguro para a prova.

Passo 4

Agora a parte (b). Quando colocamos o cubo sólido de volume V_{\text{cubo}}=0{,}3\\ \mathrm{m}^3 dentro do tanque, supondo que isso foi feito cuidadosamente sem deixar o ar escapar, a massa de ar permanece a mesma ( m_{\text{tot}}=1{,}5\\ \mathrm{kg}), mas o espaço disponível para o ar diminui. O novo volume ocupado pelo ar é
V_{\text{ar,new}}=V_{\text{tot}}-V_{\text{cubo}}=1{,}0\\ \mathrm{m}^3-0{,}3\\ \mathrm{m}^3=0{,}7\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Aplicamos de novo a definição de massa específica com a massa inalterada e o novo volume:
\rho_{\text{new}}=\frac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{ar,new}}}=\frac{1{,}5}{0{,}7}=\frac{15}{7}\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\approx 2{,}142857\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
Dica prática para prova: mantenha frações simples quando possível ( \tfrac{15}{7}) e só passe para decimal se pedirem aproximação. Sempre anote unidades.

Resposta

a) 1{,}5\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}
b) \dfrac{15}{7}\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\approx 2{,}142857\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}

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