Exercício 2. Seja X a variável aleatória contínua com fdp f(x)=b e^{-x}, x>0. Seja p_{j}=P(j<X< j+1). Verifique que p_{j} é da forma (1-a) a^{j} e determine a.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X com densidade
f(x)=b\,e^{-x},\quad x>0,
e define
p_{j}=P\bigl(j<X<j+1\bigr).
O conteúdo aqui é a distribuição exponencial e o reconhecimento de que as probabilidades em intervalos unitários geram uma lei geométrica discreta. Vamos precisar (1) encontrar a constante de normalização b, (2) calcular p_j por integração e (3) mostrar que p_j fica da forma (1-a)\,a^j, identificando a.

Passo 2

Para determinar b, usamos que a densidade deve integrar 1 no suporte [0,\infty):
\int_{0}^{\infty}b\,e^{-x}\,dx = b\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{\infty} = b\bigl(0 - (-1)\bigr)=b = 1.
Logo, \displaystyle b=1 e X tem de fato densidade f(x)=e^{-x} para x>0.

Passo 3

Calculamos
p_{j}=P(j<X<j+1)=\int_{j}^{\,j+1}e^{-x}\,dx =\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{j}^{\,j+1} =e^{-j}-e^{-(j+1)}.

Passo 4

Fatorando e^{-j} obtemos
p_{j} =e^{-j}\Bigl(1 - e^{-1}\Bigr) =(1 - e^{-1})\,(e^{-1})^{j}.
Isso mostra que p_j é da forma (1-a)\,a^j.

Resposta

a = e^{-1},
pois então \displaystyle p_j=(1-e^{-1})(e^{-1})^{j}.

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