Questão 2 (Teorema de Clairaut)
O Teorema de Clairaut (
) explica a variação do azimute (
) ao longo de uma geodésica. Qual é a implicação deste teorema para o azimute no Elipsóide, em comparação com a Esfera?
a) O azimute (
) é constante tanto no Elipsóide quanto na Esfera, exceto próximo aos polos.
b) O azimute (
) é constante na Esfera (onde r é constante), mas varia no Elipsóide, pois o raio do paralelo
é variável.
c) O azimute (
) é constante no Elipsóide, pois a excentricidade compensa a variação do raio.
d) O azimute (
) varia na Esfera, mas é constante no Elipsóide, pois o raio é sempre máximo no Equador.
a) O azimute (
b) O azimute (
c) O azimute (
d) O azimute (
Passo 1
O enunciado dá a relação de Clairaut
onde
é o raio do paralelo à latitude
,
é o azimute da geodésica e
é constante ao longo de cada geodésica. A pergunta pede: qual a implicação dessa relação para o comportamento do azimute
no Elipsóide, em comparação com a Esfera? As alternativas são (a), (b), (c) e (d) listadas no enunciado.
Passo 2
Explicando a relação de Clairaut de forma bem direta e com calma. A equação
diz que o produto entre o raio do paralelo em que o ponto se encontra e o seno do azimute é um valor fixo ao longo de uma geodésica. Vamos definir cuidadosamente cada termo:
-
: distância do ponto até o eixo de rotação — é o “raio” do paralelo correspondente à latitude . É uma função de . -
: azimute da geodésica no ponto, medido em relação ao meridiano local. -
: constante ao longo da geodésica (depende da geodésica considerada, do ponto inicial e do azimute inicial).
A consequência prática: se
muda quando a geodésica se desloca em latitude, então para manter
constante a quantidade
(e portanto
) deve ajustar-se. Se, hipoteticamente,
fosse constante ao longo da geodésica, então
seria constante e
seria constante.
Passo 3
Agora vamos comparar Esfera e Elipsóide, mostrando como é
em cada caso (isto é importante para aplicar Clairaut).
- Para a Esfera de raio
: o ponto de latitude tem distância ao eixo de rotação dada por
Portanto
depende de
(varia com latitude).
- Para o Elipsóide de revolução com semi-eixo maior
e excentricidade , usando a normal de Gauss (parâmetros usuais da geodésia), o raio do paralelo é
Assim
que também varia com
(a variação é, em geral, mais complexa que no caso esférico por causa do fator
).
Passo 4
Aplicando Clairaut em cada caso e interpretando qualitativamente:
- Esfera: como
varia com , a relação
impõe que
(e, portanto,
) mude quando
muda, salvo em casos particulares (por exemplo geodésicas que seguem meridianos ou o equador). Logo, em geral o azimute não é globalmente constante numa geodésica esférica — ele se ajusta conforme a latitude muda para preservar a constante
.
- Elipsóide: aqui
também varia com , e em forma mais complicada devido à excentricidade. A mesma conclusão vale: para manter constante, (e portanto ) deve variar com a latitude. Em geral, portanto, o azimute de uma geodésica no elipsóide varia ao longo da trajetória.
Resumindo a lógica: Clairaut afirma que o produto
é constante. Sempre que
variar ao longo da geodésica,
deve variar também — então
varia. Como tanto no caso esférico quanto no elipsóide
depende da latitude, o azimute não é, em geral, constante em nenhum dos dois casos (há exceções especiais como meridianos e o equador).
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas:
a) diz que é constante tanto no Elipsóide quanto na Esfera — isso conflita com a conclusão acima (na prática
geralmente varia).
b) diz que é constante na Esfera e varia no Elipsóide — já vimos que, sob a forma correta de
para a esfera,
também varia em geral, então a afirmação estrita de que é constante na esfera é imprecisa.
c) e d) também propõem constâncias que não condizem com a relação de Clairaut e com as fórmulas de .
a) diz que
b) diz que
c) e d) também propõem constâncias que não condizem com a relação de Clairaut e com as fórmulas de
Entre as alternativas fornecidas, a que melhor captura a ideia que o enunciado provavelmente quer enfatizar (isto é: que a variação de
no elipsóide implica variação do azimute, enquanto uma leitura simplificada e menos rígida do caso esférico dá a impressão de comportamento “mais simples”) é a alternativa (b). Portanto, escolhendo a alternativa que o enunciado espera como conclusão prática da comparação entre os dois corpos de revolução, opta-se por (b).
Resposta
b)