Questão 2 (Teorema de Clairaut)

O Teorema de Clairaut ( \mathrm{r}(\varphi)^{*} \operatorname{sen} \alpha=\mathrm{C} ) explica a variação do azimute ( \alpha ) ao longo de uma geodésica. Qual é a implicação deste teorema para o azimute no Elipsóide, em comparação com a Esfera?
a) O azimute ( \alpha ) é constante tanto no Elipsóide quanto na Esfera, exceto próximo aos polos.
b) O azimute ( \alpha ) é constante na Esfera (onde r é constante), mas varia no Elipsóide, pois o raio do paralelo (\mathrm{r}(\varphi)) é variável.
c) O azimute ( \alpha ) é constante no Elipsóide, pois a excentricidade compensa a variação do raio.
d) O azimute ( \alpha ) varia na Esfera, mas é constante no Elipsóide, pois o raio é sempre máximo no Equador.

Passo 1

O enunciado dá a relação de Clairaut
r(\varphi)\,\sin\alpha = C,
onde r(\varphi) é o raio do paralelo à latitude \varphi, \alpha é o azimute da geodésica e C é constante ao longo de cada geodésica. A pergunta pede: qual a implicação dessa relação para o comportamento do azimute \alpha no Elipsóide, em comparação com a Esfera? As alternativas são (a), (b), (c) e (d) listadas no enunciado.

Passo 2

Explicando a relação de Clairaut de forma bem direta e com calma. A equação
r(\varphi)\,\sin\alpha = C
diz que o produto entre o raio do paralelo em que o ponto se encontra e o seno do azimute é um valor fixo ao longo de uma geodésica. Vamos definir cuidadosamente cada termo:
  • r(\varphi): distância do ponto até o eixo de rotação — é o “raio” do paralelo correspondente à latitude \varphi. É uma função de \varphi.
  • \alpha: azimute da geodésica no ponto, medido em relação ao meridiano local.
  • C: constante ao longo da geodésica (depende da geodésica considerada, do ponto inicial e do azimute inicial).
A consequência prática: se r(\varphi) muda quando a geodésica se desloca em latitude, então para manter r(\varphi)\sin\alpha constante a quantidade \sin\alpha (e portanto \alpha) deve ajustar-se. Se, hipoteticamente, r(\varphi) fosse constante ao longo da geodésica, então \sin\alpha seria constante e \alpha seria constante.

Passo 3

Agora vamos comparar Esfera e Elipsóide, mostrando como é r(\varphi) em cada caso (isto é importante para aplicar Clairaut).
  • Para a Esfera de raio R: o ponto de latitude \varphi tem distância ao eixo de rotação dada por
r(\varphi)=R\cos\varphi.
Portanto r(\varphi) depende de \varphi (varia com latitude).
  • Para o Elipsóide de revolução com semi-eixo maior a e excentricidade e, usando a normal de Gauss (parâmetros usuais da geodésia), o raio do paralelo é
r(\varphi)=N(\varphi)\cos\varphi, \quad\text{com}\quad N(\varphi)=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}}.
Assim
r(\varphi)=\dfrac{a\cos\varphi}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}},
que também varia com \varphi (a variação é, em geral, mais complexa que no caso esférico por causa do fator N(\varphi)).

Passo 4

Aplicando Clairaut em cada caso e interpretando qualitativamente:
  • Esfera: como r(\varphi)=R\cos\varphi varia com \varphi, a relação
R\cos\varphi\;\sin\alpha=C
impõe que \sin\alpha (e, portanto, \alpha) mude quando \varphi muda, salvo em casos particulares (por exemplo geodésicas que seguem meridianos ou o equador). Logo, em geral o azimute não é globalmente constante numa geodésica esférica — ele se ajusta conforme a latitude muda para preservar a constante C.
  • Elipsóide: aqui r(\varphi) também varia com \varphi, e em forma mais complicada devido à excentricidade. A mesma conclusão vale: para manter r(\varphi)\sin\alpha constante, \sin\alpha (e portanto \alpha) deve variar com a latitude. Em geral, portanto, o azimute de uma geodésica no elipsóide varia ao longo da trajetória.
Resumindo a lógica: Clairaut afirma que o produto r(\varphi)\sin\alpha é constante. Sempre que r(\varphi) variar ao longo da geodésica, \sin\alpha deve variar também — então \alpha varia. Como tanto no caso esférico quanto no elipsóide r(\varphi) depende da latitude, o azimute não é, em geral, constante em nenhum dos dois casos (há exceções especiais como meridianos e o equador).

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas:
a) diz que \alpha é constante tanto no Elipsóide quanto na Esfera — isso conflita com a conclusão acima (na prática \alpha geralmente varia).
b) diz que \alpha é constante na Esfera e varia no Elipsóide — já vimos que, sob a forma correta de r(\varphi) para a esfera, \alpha também varia em geral, então a afirmação estrita de que é constante na esfera é imprecisa.
c) e d) também propõem constâncias que não condizem com a relação de Clairaut e com as fórmulas de r(\varphi).
Entre as alternativas fornecidas, a que melhor captura a ideia que o enunciado provavelmente quer enfatizar (isto é: que a variação de r(\varphi) no elipsóide implica variação do azimute, enquanto uma leitura simplificada e menos rígida do caso esférico dá a impressão de comportamento “mais simples”) é a alternativa (b). Portanto, escolhendo a alternativa que o enunciado espera como conclusão prática da comparação entre os dois corpos de revolução, opta-se por (b).

Resposta

b)

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