Questão 1 (Raios Ne M)
Em qualquer ponto com latitude
no Elipsóide de Revolução, existem dois raios de curvatura principais. Qual das opções abaixo define corretamente o Raio de Curvatura Normal (N) e o Raio de Curvatura Meridiano (M)?
a) N é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul); M é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste).
b) N e M têm o mesmo valor em todas as latitudes, mas são usados em fórmulas diferentes.
c) N é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste) e é o maior raio principal; M é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul) e é o menor raio principal.
d) N é a distância do ponto ao eixo Z; M é a distância do ponto ao centro do Elipsóide.
a) N é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul); M é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste).
b) N e M têm o mesmo valor em todas as latitudes, mas são usados em fórmulas diferentes.
c) N é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste) e é o maior raio principal; M é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul) e é o menor raio principal.
d) N é a distância do ponto ao eixo Z; M é a distância do ponto ao centro do Elipsóide.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual define corretamente o Raio de Curvatura Normal
e o Raio de Curvatura Meridiano
em um ponto de latitude
no elipsóide de revolução. As informações relevantes do enunciado são:
- Em qualquer ponto do elipsóide existem dois raios de curvatura principais (dois raios associados às direções principais da superfície).
- As alternativas descrevem interpretações geométricas (meridiano = Norte–Sul, normal primária / prime vertical = Leste–Oeste), relações de tamanho entre
e e distâncias diretas ao eixo/centro.
O que se pede: identificar qual alternativa corresponde à definição correta de
e
.
Passo 2
Primeiro vamos entender, de forma bem clara e prática, o que são as duas direções importantes no ponto do elipsóide:
- A direção do meridiano é a direção Norte–Sul, tangente ao corte do elipsóide por um plano que contém o eixo de rotação (essa curva é o “meridiano”).
- A direção da normal primária (também chamada de prime vertical) é a direção Leste–Oeste, tangente ao corte do elipsóide por um plano perpendicular ao eixo de rotação no ponto (essa curva é o “círculo normal” ou “prime vertical”).
Em palavras simples: um raio de curvatura principal mede “quão curva” é a superfície numa direção tangente específica; aqui as duas direções naturais são meridiano (N–S) e prime vertical (E–W).
Passo 3
Agora as fórmulas clássicas (essas fórmulas são padrão em geodésia e descrevem os raios de curvatura no elipsóide de revolução). Definindo:
-
= semi-eixo maior (equador) do elipsóide, -
= semi-eixo menor (polos), -
= excentricidade ao quadrado, -
= latitude geodésica do ponto.
As fórmulas dos raios de curvatura são
Expliquei cada símbolo acima; agora um comentário sobre o que essas fórmulas significam:
é o raio de curvatura na direção do prime vertical (Leste–Oeste) e
é o raio de curvatura na direção do meridiano (Norte–Sul).
Passo 4
Vamos comparar as duas fórmulas para ver qual é maior. Dividindo
por
:
Observações úteis:
-
para um elipsóide oblato real, então é um número positivo menor que 1. -
está entre e , então pertence ao intervalo .
Portanto o quociente
é maior ou igual a
, com igualdade apenas quando
(isto é, nos polos
). Logo
para todas as latitudes, e
somente nos polos.
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão sobre significado:
-
corresponde à curvatura na Normal Primária (prime vertical, direção Leste–Oeste). É o maior dos dois raios principais (ou igual nos polos). -
corresponde à curvatura no meridiano (direção Norte–Sul). É o menor dos dois raios principais (ou igual nos polos).
Isso responde diretamente às descrições das alternativas.
Resposta
c)