Questão 1 (Raios Ne M)

Em qualquer ponto com latitude \varphi no Elipsóide de Revolução, existem dois raios de curvatura principais. Qual das opções abaixo define corretamente o Raio de Curvatura Normal (N) e o Raio de Curvatura Meridiano (M)?
a) N é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul); M é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste).
b) N e M têm o mesmo valor em todas as latitudes, mas são usados em fórmulas diferentes.
c) N é o raio da curva na Normal Primária (Leste-Oeste) e é o maior raio principal; M é o raio da curva no meridiano (Norte-Sul) e é o menor raio principal.
d) N é a distância do ponto ao eixo Z; M é a distância do ponto ao centro do Elipsóide.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual define corretamente o Raio de Curvatura Normal N e o Raio de Curvatura Meridiano M em um ponto de latitude \varphi no elipsóide de revolução. As informações relevantes do enunciado são:
  • Em qualquer ponto do elipsóide existem dois raios de curvatura principais (dois raios associados às direções principais da superfície).
  • As alternativas descrevem interpretações geométricas (meridiano = Norte–Sul, normal primária / prime vertical = Leste–Oeste), relações de tamanho entre N e M e distâncias diretas ao eixo/centro.
O que se pede: identificar qual alternativa corresponde à definição correta de N e M.

Passo 2

Primeiro vamos entender, de forma bem clara e prática, o que são as duas direções importantes no ponto do elipsóide:
  • A direção do meridiano é a direção Norte–Sul, tangente ao corte do elipsóide por um plano que contém o eixo de rotação (essa curva é o “meridiano”).
  • A direção da normal primária (também chamada de prime vertical) é a direção Leste–Oeste, tangente ao corte do elipsóide por um plano perpendicular ao eixo de rotação no ponto (essa curva é o “círculo normal” ou “prime vertical”).
Em palavras simples: um raio de curvatura principal mede “quão curva” é a superfície numa direção tangente específica; aqui as duas direções naturais são meridiano (N–S) e prime vertical (E–W).

Passo 3

Agora as fórmulas clássicas (essas fórmulas são padrão em geodésia e descrevem os raios de curvatura no elipsóide de revolução). Definindo:
  • a = semi-eixo maior (equador) do elipsóide,
  • b = semi-eixo menor (polos),
  • e^2 = \dfrac{a^2-b^2}{a^2} = excentricidade ao quadrado,
  • \varphi = latitude geodésica do ponto.
As fórmulas dos raios de curvatura são
N=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}}
M=\dfrac{a(1-e^{2})}{\bigl(1-e^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)^{3/2}}
Expliquei cada símbolo acima; agora um comentário sobre o que essas fórmulas significam: N é o raio de curvatura na direção do prime vertical (Leste–Oeste) e M é o raio de curvatura na direção do meridiano (Norte–Sul).

Passo 4

Vamos comparar as duas fórmulas para ver qual é maior. Dividindo N por M:
\frac{N}{M} = \frac{\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}}} {\dfrac{a(1-e^{2})}{\bigl(1-e^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)^{3/2}}} = \frac{(1-e^{2}\sin^{2}\varphi)}{1-e^{2}}.
Observações úteis:
  • 0<e^{2}<1 para um elipsóide oblato real, então 1-e^{2} é um número positivo menor que 1.
  • \sin^{2}\varphi está entre 0 e 1, então 1-e^{2}\sin^{2}\varphi pertence ao intervalo [1-e^{2},1].
Portanto o quociente \dfrac{N}{M}=\dfrac{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}{1-e^{2}} é maior ou igual a 1, com igualdade apenas quando \sin^{2}\varphi=1 (isto é, nos polos \varphi=\pm 90^\circ). Logo
N \ge M
para todas as latitudes, e N=M somente nos polos.

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão sobre significado:
  • N corresponde à curvatura na Normal Primária (prime vertical, direção Leste–Oeste). É o maior dos dois raios principais (ou igual nos polos).
  • M corresponde à curvatura no meridiano (direção Norte–Sul). É o menor dos dois raios principais (ou igual nos polos).
Isso responde diretamente às descrições das alternativas.

Resposta

c)

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