Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 2 x+3 y+z=6.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado pelos planos coordenados e pelo plano dado \;2x+3y+z=6.
  • Informação principal do enunciado: a superfície superior do sólido é o plano \;2x+3y+z=6.
  • Pergunta: calcular o volume desse sólido usando integral dupla (ou seja, projetando o sólido no plano xy e integrando a altura).

Passo 2

Entendendo a ideia: volume por integral dupla
  • Se o sólido está acima do domínio R no plano xy e abaixo da superfície z=f(x,y), então o volume vale
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
  • Aqui a superfície é dada por \;z=6-2x-3y. Essa é a altura do sólido em cada ponto (x,y) do domínio projetado R.
  • Portanto vamos calcular
V=\iint_{R} \bigl(6-2x-3y\bigr)\,dA.

Passo 3

Determinar o domínio de projeção R no plano xy
  • Como o sólido está no primeiro octante e abaixo do plano, precisamos de z\ge0, isto é
6-2x-3y\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y\le6.
  • Além disso x\ge0 e y\ge0. Logo R é o triângulo no primeiro quadrante delimitado por x=0, y=0 e 2x+3y=6.
  • Interceptos: para y=0 temos 2x=6\Rightarrow x=3. Para x=0 temos 3y=6\Rightarrow y=2.
  • Podemos tomar limites em x e y como
0\le x\le 3,\qquad 0\le y\le 2-\tfrac{2}{3}x.

Passo 4

Montar a integral dupla com escolha de ordem e exposição do integrando
  • Escolho integrar primeiro em y e depois em x. Assim:
V=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\,2-\tfrac{2}{3}x}\bigl(6-2x-3y\bigr)\,dy\,dx.
  • Explicando o integrando: para cada (x,y)\in R, a altura do sólido é \;z=6-2x-3y, portanto somamos (integrando) essas alturas sobre toda a área do triângulo R.

Passo 5

Calcular a integral interna (integração em y)
  • Calcule a primitiva em relação a y:
\int\bigl(6-2x-3y\bigr)\,dy = (6-2x)\,y - \tfrac{3}{2}y^{2}.
  • Avaliando entre y=0 e y=2-\tfrac{2}{3}x. Note que
2-\tfrac{2}{3}x=\tfrac{6-2x}{3}.
  • Substituindo, a integral interna fica
(6-2x)\cdot\frac{6-2x}{3}-\tfrac{3}{2}\left(\frac{6-2x}{3}\right)^{2}.
  • Simplificando passo a passo:
(6-2x)\cdot\frac{6-2x}{3}=\frac{(6-2x)^{2}}{3},
\tfrac{3}{2}\left(\frac{6-2x}{3}\right)^{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{(6-2x)^{2}}{9}=\frac{(6-2x)^{2}}{6}.
  • Subtraindo:
\frac{(6-2x)^{2}}{3}-\frac{(6-2x)^{2}}{6}=\frac{(6-2x)^{2}}{6}.
  • Portanto a integral interna reduz-se a \displaystyle \frac{(6-2x)^{2}}{6}.

Passo 6

Calcular a integral externa (integração em x)
  • Substituindo o resultado anterior:
V=\int_{0}^{3}\frac{(6-2x)^{2}}{6}\,dx.
  • Note que 6-2x=2(3-x), então
\frac{(6-2x)^{2}}{6}=\frac{4(3-x)^{2}}{6}=\frac{2}{3}(3-x)^{2}.
  • Assim
V=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(3-x)^{2}\,dx.
  • Usando a substituição t=3-x (ou calculando diretamente), obtemos
\int_{0}^{3}(3-x)^{2}\,dx=\int_{0}^{3}t^{2}\,dt=\left[\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\tfrac{27}{3}=9.
  • Logo
V=\frac{2}{3}\cdot 9=6.

Passo 7

Verificação geométrica rápida (cheia de confiança)
  • O sólido é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (3,0,0), (0,2,0), (0,0,6).
  • Para um tetraedro com interceptos a, b, c nos eixos, o volume é \displaystyle \frac{abc}{6}. Aqui a=3, b=2, c=6, então
V=\frac{3\cdot 2\cdot 6}{6}=6,
o que confirma o cálculo feito por integrais.

Resposta

6

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