Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com
, , ) limitado pelos planos coordenados e pelo plano dado . - Informação principal do enunciado: a superfície superior do sólido é o plano
. - Pergunta: calcular o volume desse sólido usando integral dupla (ou seja, projetando o sólido no plano
e integrando a altura).
Passo 2
Entendendo a ideia: volume por integral dupla
- Se o sólido está acima do domínio
no plano e abaixo da superfície , então o volume vale
- Aqui a superfície é dada por
. Essa é a altura do sólido em cada ponto do domínio projetado . - Portanto vamos calcular
Passo 3
Determinar o domínio de projeção
no plano
- Como o sólido está no primeiro octante e abaixo do plano, precisamos de
, isto é
- Além disso
e . Logo é o triângulo no primeiro quadrante delimitado por , e . - Interceptos: para
temos . Para temos . - Podemos tomar limites em
e como
Passo 4
Montar a integral dupla com escolha de ordem e exposição do integrando
- Escolho integrar primeiro em
e depois em . Assim:
- Explicando o integrando: para cada
, a altura do sólido é , portanto somamos (integrando) essas alturas sobre toda a área do triângulo .
Passo 5
Calcular a integral interna (integração em
)
- Calcule a primitiva em relação a
:
- Avaliando entre
e . Note que
- Substituindo, a integral interna fica
- Simplificando passo a passo:
- Subtraindo:
- Portanto a integral interna reduz-se a
.
Passo 6
Calcular a integral externa (integração em
)
- Substituindo o resultado anterior:
- Note que
, então
- Assim
- Usando a substituição
(ou calculando diretamente), obtemos
- Logo
Passo 7
Verificação geométrica rápida (cheia de confiança)
- O sólido é um tetraedro com vértices em
, , , . - Para um tetraedro com interceptos
, , nos eixos, o volume é . Aqui , , , então
o que confirma o cálculo feito por integrais.