Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Todos os termos
são não negativos (na verdade, positivos) para . - A tarefa é decidir se a série converge (e então se converge absolutamente ou apenas condicionalmente) ou diverge.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (fórmula/condição que vou usar): se uma série tem termos positivos, então convergência absoluta é a mesma coisa que convergência simples — não existe “condicional” nesse caso. Em outras palavras:
- Se
com converge, ela é absolutamente convergente. - Se
diverge, não faz sentido falar em convergência condicional.
Por isso basta testar se a série converge ou diverge. Um teste muito apropriado para séries com fatoriais e potências é o teste da razão (teste de d’Alembert).
Passo 3
Enunciando o teste da razão (d’Álembert) de forma clara:
- Para uma série
com , calcule
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
. Vamos calcular a razão
.
Passo 4
Calcule a razão entre termos consecutivos:
Portanto
Passo 5
Agora tome o limite:
Como
, pelo teste da razão a série diverge.
Passo 6
Comentário didático extra (por via das dúvidas, e para entender intuitivamente): a razão
já para todo
, o que significa que os termos
crescem a partir de certo ponto (não tendem a zero). Como condição necessária para convergência de uma série é que
, a divergência também pode ser vista por aí:
não vai a zero, logo a série diverge.
Passo 7
Conclusão: a série diverge. Como os termos são positivos, não há convergência condicional — ela simplesmente diverge (portanto também não é absolutamente convergente).
Resposta
A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).