Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{2^{n}}.
  • Todos os termos a_n são não negativos (na verdade, positivos) para n\ge1.
  • A tarefa é decidir se a série converge (e então se converge absolutamente ou apenas condicionalmente) ou diverge.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (fórmula/condição que vou usar): se uma série tem termos positivos, então convergência absoluta é a mesma coisa que convergência simples — não existe “condicional” nesse caso. Em outras palavras:
  • Se \sum a_n com a_n\ge0 converge, ela é absolutamente convergente.
  • Se \sum a_n diverge, não faz sentido falar em convergência condicional.
Por isso basta testar se a série converge ou diverge. Um teste muito apropriado para séries com fatoriais e potências é o teste da razão (teste de d’Alembert).

Passo 3

Enunciando o teste da razão (d’Álembert) de forma clara:
  • Para uma série \sum a_n com a_n>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1 (ou L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui a_n=\dfrac{n!}{2^{n}}. Vamos calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 4

Calcule a razão entre termos consecutivos:
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}},\qquad a_n=\frac{n!}{2^{n}}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{2^{n}}} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n!} = \frac{n+1}{2}.

Passo 5

Agora tome o limite:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2} = \infty.
Como L=\infty>1, pelo teste da razão a série diverge.

Passo 6

Comentário didático extra (por via das dúvidas, e para entender intuitivamente): a razão \dfrac{n+1}{2}>1 já para todo n\ge2, o que significa que os termos a_n crescem a partir de certo ponto (não tendem a zero). Como condição necessária para convergência de uma série é que a_n\to0, a divergência também pode ser vista por aí: a_n não vai a zero, logo a série diverge.

Passo 7

Conclusão: a série diverge. Como os termos são positivos, não há convergência condicional — ela simplesmente diverge (portanto também não é absolutamente convergente).

Resposta

A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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