Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
l) * \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}
e pede para classificá‑la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
  • Os termos a_n são positivos para todo n\ge1.
  • Preciso decidir entre: (i) convergência absoluta, (ii) convergência condicional, (iii) divergência.

Passo 2

Observação inicial útil (muito prática na prova): como a_n>0 para todo n, a convergência absoluta da série \sum a_n é equivalente à convergência comum da própria série. Ou seja, não faz sentido falar em “condicional” se a série de termos positivos diverge — só há convergência absoluta ou divergência. Vou então testar a convergência da série com um critério adequado.

Passo 3

Vou usar o Teste da Razão (teste de d’Alembert). Enunciado do teste (explicado de forma simples):
  • Seja a_n o termo geral (com a_n\ge0). Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
(se esse limite existir).
  • Se L<1, a série \sum a_n converge.
  • Se L>1, a série diverge (porque os termos não tendem a zero, de fato crescem geometricamente).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Esse teste é ótimo quando os termos envolvem fatoriais ou potências, pois as razões simplificam bem.

Passo 4

Defino a_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}} e calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo:
Começo escrevendo a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^{2}}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2}(n!)^{2}}.
Agora a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2}(n!)^{2}}}{\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2}(n!)^{2}}\cdot\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}.
Cancelo (2n)! e (n!)^{2}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Posso fatorar 2 em (2n+2)=2(n+1) e simplificar:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^{2}} = 2\cdot\frac{2n+1}{n+1} = \frac{4n+2}{n+1}.

Passo 5

Calculo o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n+2}{n+1} = 4.
Como esse limite L=4 é maior que 1, o Teste da Razão diz que a série diverge. Intuição rápida: para n grande a razão entre termos é aproximadamente 4, então os termos crescem aproximadamente como uma progressão geométrica de razão >1, logo não tendem a zero.
Complemento (argumento do termo não nulo): de forma ainda mais direta, a sequência a_n não tem limite zero — de fato cresce para infinito — e uma condição necessária para a convergência de uma série é \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui isso não acontece, portanto a série diverge.

Passo 6

Conclusão sobre absoluta/condicional: como a_n>0, não há diferença entre convergência e convergência absoluta. A série já foi mostrada divergente, portanto ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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