Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para classificá‑la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Os termos
são positivos para todo . - Preciso decidir entre: (i) convergência absoluta, (ii) convergência condicional, (iii) divergência.
Passo 2
Observação inicial útil (muito prática na prova): como
para todo
, a convergência absoluta da série
é equivalente à convergência comum da própria série. Ou seja, não faz sentido falar em “condicional” se a série de termos positivos diverge — só há convergência absoluta ou divergência. Vou então testar a convergência da série com um critério adequado.
Passo 3
Vou usar o Teste da Razão (teste de d’Alembert). Enunciado do teste (explicado de forma simples):
- Seja
o termo geral (com ). Defina
(se esse limite existir).
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge (porque os termos não tendem a zero, de fato crescem geometricamente). - Se
, o teste é inconclusivo.
Esse teste é ótimo quando os termos envolvem fatoriais ou potências, pois as razões simplificam bem.
Passo 4
Defino
e calculo a razão
passo a passo:
Começo escrevendo
:
Agora a razão:
Cancelo
e
:
Posso fatorar
em
e simplificar:
Passo 5
Calculo o limite da razão quando
:
Como esse limite
é maior que
, o Teste da Razão diz que a série diverge. Intuição rápida: para
grande a razão entre termos é aproximadamente
, então os termos crescem aproximadamente como uma progressão geométrica de razão
, logo não tendem a zero.
Complemento (argumento do termo não nulo): de forma ainda mais direta, a sequência
não tem limite zero — de fato cresce para infinito — e uma condição necessária para a convergência de uma série é
. Aqui isso não acontece, portanto a série diverge.
Passo 6
Conclusão sobre absoluta/condicional: como
, não há diferença entre convergência e convergência absoluta. A série já foi mostrada divergente, portanto ela não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente é divergente.
Resposta
A série é divergente.