Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
O enunciado dá a série com termos positivos
A pergunta é classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas:
- O termo geral da série é
. - Todos os termos são não negativos (na verdade positivos para todo
).
Passo 2
Breve lembrete teórico (bem mastigado e sem jargões):
- Uma série de termos reais
é absolutamente convergente se converge. - Se
converge mas diverga, diz-se que é condicionalmente convergente. - Se
diverga, então não é nem condicional nem absolutamente convergente. - Para séries com termos positivos (ou não negativos) a distinção se simplifica: convergência e convergência absoluta coincidem — basta testar a convergência da própria série.
Vou usar um teste adequado para séries de termos positivos: o Teste da Razão (Teste de D’Alembert), que costuma ser muito eficiente quando o termo envolve fatoriais e potências. O Teste da Razão diz o seguinte:
- Seja
. Calcule Se , a série converge; se (incluindo ), a série diverge; se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão à nossa série. Primeiro escrevo
e
:
Passo 4
Calculo a razão
. Faço as contas passo a passo:
Simplificando o fatorial e as potências:
Agora calculo a diferença dos expoentes:
Logo
Passo 5
Estudo o limite dessa razão quando
. Reescrevo para ver o comportamento:
Agora raciocínio sobre crescimento:
é uma sequência geométrica com razão
, que cresce exponencialmente; o denominador
cresce apenas linearmente. Em termos de logaritmos,
e
quando
porque
cresce linearmente em
enquanto
cresce muito mais devagar. Portanto
Assim
Passo 6
Interpretação pelo Teste da Razão: como
(na verdade
), a série
diverge. Outro comentário simples: se a razão entre termos tende a algo maior que 1, os termos não tendem a zero — na verdade crescem rapidamente — e uma série cujo termo geral não tende a zero não pode convergir (teste do termo geral).
Passo 7
Conclusão final em termos da classificação pedida: a série diverge; portanto não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.
Resposta
Divergente.