Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
m) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série com termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}.
A pergunta é classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{2^{n^{2}}}{n!}.
  • Todos os termos são não negativos (na verdade positivos para todo n\ge1).

Passo 2

Breve lembrete teórico (bem mastigado e sem jargões):
  • Uma série de termos reais \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverga, diz-se que é condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n diverga, então não é nem condicional nem absolutamente convergente.
  • Para séries com termos positivos (ou não negativos) a distinção se simplifica: convergência e convergência absoluta coincidem — basta testar a convergência da própria série.
Vou usar um teste adequado para séries de termos positivos: o Teste da Razão (Teste de D’Alembert), que costuma ser muito eficiente quando o termo envolve fatoriais e potências. O Teste da Razão diz o seguinte:
  • Seja \displaystyle a_n>0. Calcule L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.Se L<1, a série \sum a_n converge; se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à nossa série. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{2^{n^{2}}}{n!},\qquad a_{n+1}=\frac{2^{(n+1)^{2}}}{(n+1)!}.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Faço as contas passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n^2}}{n!}} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n^2}}.
Simplificando o fatorial e as potências:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{(n+1)^2-n^2}}{n+1}.
Agora calculo a diferença dos expoentes:
(n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1 - n^2 = 2n+1.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{2n+1}}{n+1}.

Passo 5

Estudo o limite dessa razão quando n\to\infty. Reescrevo para ver o comportamento:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2\cdot 2^{2n}}{n+1} = \frac{2\cdot(4)^{n}}{n+1}.
Agora raciocínio sobre crescimento: (4)^n é uma sequência geométrica com razão 4>1, que cresce exponencialmente; o denominador n+1 cresce apenas linearmente. Em termos de logaritmos,
\ln\!\left(\frac{2\cdot 4^{n}}{n+1}\right) = \ln 2 + n\ln 4 - \ln(n+1),
e \;n\ln 4 - \ln(n+1)\to +\infty quando n\to\infty porque n\ln 4 cresce linearmente em n enquanto \ln(n+1) cresce muito mais devagar. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 4^{n}}{n+1}=+\infty.
Assim
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=+\infty>1.

Passo 6

Interpretação pelo Teste da Razão: como L>1 (na verdade L=+\infty), a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge. Outro comentário simples: se a razão entre termos tende a algo maior que 1, os termos não tendem a zero — na verdade crescem rapidamente — e uma série cujo termo geral não tende a zero não pode convergir (teste do termo geral).

Passo 7

Conclusão final em termos da classificação pedida: a série diverge; portanto não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.

Resposta

Divergente.

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