Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Os planos
\pi_{1}: x+2 y+3 z=4 e \pi_{2}: 2 x+4 y+6 z=8
são paralelos.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações de planos e afirma que elas são paralelas. As informações dadas são:
  • Plano \pi_{1}\colon x+2y+3z=4.
  • Plano \pi_{2}\colon 2x+4y+6z=8.
A pergunta implícita: justificar por que a afirmação “os planos \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos” é falsa.

Passo 2

Entendendo a forma geral de um plano e o vetor normal.
Uma equação cartesiana de plano pode ser escrita como
ax+by+cz=d,
onde a,b,c são números reais. O vetor normal ao plano é
\mathbf{n}=(a,b,c).
Explicação didática: esse vetor \mathbf{n} é chamado de normal porque é ortogonal (perpendicular) a todo vetor que esteja contido no plano. Uma forma compacta da equação do plano é \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=d, que mostra diretamente que \mathbf{n} determina a orientação do plano.

Passo 3

Critério para planos paralelos ou coincidentes.
  • Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e somente se seus vetores normais são proporcionais, isto é, se existe k\neq 0 tal que \mathbf{n}_2=k\mathbf{n}_1.
  • Se além dos normais serem proporcionais também as constantes do lado direito satisfazem d_2=k d_1 com o mesmo k, então as equações são múltiplos uma da outra e os planos são exatamente o mesmo conjunto de pontos (são coincidentes).
  • Se os normais são proporcionais mas d_2\neq k d_1 para o mesmo k, então os planos são paralelos distintos (não se intersectam).

Passo 4

Aplicando o critério aos planos dados.
Calcule os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(1,2,3),\qquad \mathbf{n}_2=(2,4,6).
Observe que
\mathbf{n}_2=2\mathbf{n}_1.
Logo os vetores normais são proporcionais, o que nos diz que os planos são ou paralelos distintos ou coincidentes. Agora compare os termos constantes:
4\cdot 2 = 8.
Isto é, multiplicando toda a equação de \pi_{1} por 2 obtemos exatamente a equação de \pi_{2}:
2(x+2y+3z)=2\cdot 4 \quad\Longrightarrow\quad 2x+4y+6z=8.
Portanto \pi_{2} e \pi_{1} representam a mesma equação geométrica — são o mesmo plano (são coincidentes).

Passo 5

Interpretação final e comparação com o enunciado.
A afirmação do enunciado dizia que os planos são paralelos. Essa afirmação é falsa porque, embora os vetores normais sejam proporcionais (o que permitiria serem paralelos), os termos do lado direito também estão na mesma proporção, o que faz com que as equações sejam múltiplos e definam exatamente o mesmo plano. Em linguagem simples: não são dois planos distintos e paralelos — é apenas um único plano escrito de duas maneiras equivalentes.

Resposta

Falso. Os planos são coincidentes: \pi_2=2\pi_1, logo representam o mesmo plano.

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