Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Os planos
e
são paralelos.
Os planos
são paralelos.
Passo 1
O enunciado nos dá duas equações de planos e afirma que elas são paralelas. As informações dadas são:
- Plano
. - Plano
.
A pergunta implícita: justificar por que a afirmação “os planos
e
são paralelos” é falsa.
Passo 2
Entendendo a forma geral de um plano e o vetor normal.
Uma equação cartesiana de plano pode ser escrita como
Uma equação cartesiana de plano pode ser escrita como
onde
são números reais. O vetor normal ao plano é
Explicação didática: esse vetor
é chamado de normal porque é ortogonal (perpendicular) a todo vetor que esteja contido no plano. Uma forma compacta da equação do plano é
, que mostra diretamente que
determina a orientação do plano.
Passo 3
Critério para planos paralelos ou coincidentes.
- Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e somente se seus vetores normais são proporcionais, isto é, se existe
tal que . - Se além dos normais serem proporcionais também as constantes do lado direito satisfazem
com o mesmo , então as equações são múltiplos uma da outra e os planos são exatamente o mesmo conjunto de pontos (são coincidentes). - Se os normais são proporcionais mas
para o mesmo , então os planos são paralelos distintos (não se intersectam).
Passo 4
Aplicando o critério aos planos dados.
Calcule os vetores normais:
Calcule os vetores normais:
Observe que
Logo os vetores normais são proporcionais, o que nos diz que os planos são ou paralelos distintos ou coincidentes. Agora compare os termos constantes:
Isto é, multiplicando toda a equação de
por
obtemos exatamente a equação de
:
Portanto
e
representam a mesma equação geométrica — são o mesmo plano (são coincidentes).
Passo 5
Interpretação final e comparação com o enunciado.
A afirmação do enunciado dizia que os planos são paralelos. Essa afirmação é falsa porque, embora os vetores normais sejam proporcionais (o que permitiria serem paralelos), os termos do lado direito também estão na mesma proporção, o que faz com que as equações sejam múltiplos e definam exatamente o mesmo plano. Em linguagem simples: não são dois planos distintos e paralelos — é apenas um único plano escrito de duas maneiras equivalentes.
A afirmação do enunciado dizia que os planos são paralelos. Essa afirmação é falsa porque, embora os vetores normais sejam proporcionais (o que permitiria serem paralelos), os termos do lado direito também estão na mesma proporção, o que faz com que as equações sejam múltiplos e definam exatamente o mesmo plano. Em linguagem simples: não são dois planos distintos e paralelos — é apenas um único plano escrito de duas maneiras equivalentes.
Resposta
Falso. Os planos são coincidentes:
, logo representam o mesmo plano.