Questão: Considere no
(\mathbb{R}^{3}) o ponto P=(-2,1,4) e os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
Encontre a equação cartesiana do plano \pi que passa pelo ponto P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Ponto P = (-2,1,4).
Vetores \overrightarrow{v_{1}} = (1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}} = (0,2,-1).
O que é pedido:
Encontrar a equação cartesiana do plano \pi que passa por P e é paralelo a \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.
Passo 2
Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicadinha, sem pressa).
Um plano no espaço pode ser descrito por um ponto P do plano e por um vetor normal \vec{n} ao plano. A equação vetorial/escalares básica é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P})=0,
onde \vec{X}=(x,y,z) representa um ponto genérico do plano e \vec{P} é o vetor posição do ponto dado.
O ponto chave: se o plano é paralelo aos vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, então o vetor normal \vec{n} deve ser perpendicular a ambos. Um modo direto de obter um vetor perpendicular a dois vetores dados é o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}.
O produto vetorial de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é o vetor
Como os produtos escalares são zero, \vec{n} é perpendicular a ambos — perfeito. Além disso \vec{n}\neq(0,0,0), portanto \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} não são colineares e determinam um plano único passando por P.
Passo 5
Escrever a equação do plano usando \vec{n} e P.
Seja \vec{X}=(x,y,z). A condição da equação do plano é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P})=0.
Substituindo \vec{n}=(4,1,2) e \vec{P}=(-2,1,4) obtemos
(4,1,2)\cdot\bigl((x,y,z)-(-2,1,4)\bigr)=0.
Expandindo o parêntese:
(4,1,2)\cdot(x+2,\;y-1,\;z-4)=0.
Passo 6
Expandir o produto escalar e simplificar para a forma cartesiana padrão.
Calculando o produto escalar:
4(x+2) + 1(y-1) + 2(z-4) = 0.
Desenvolvendo os parênteses:
4x + 8 + y - 1 + 2z - 8 = 0.
Somando os termos constantes 8 -1 -8 = -1, portanto a equação fica
4x + y + 2z - 1 = 0.
Checagem final: substituindo as coordenadas de P=(-2,1,4) no lado esquerdo,