Questão: Considere no
(\mathbb{R}^{3}) o ponto P=(-2,1,4) e os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
Encontre a equação cartesiana do plano \pi que passa pelo ponto P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Ponto P = (-2,1,4).
  • Vetores \overrightarrow{v_{1}} = (1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}} = (0,2,-1).
    O que é pedido:
  • Encontrar a equação cartesiana do plano \pi que passa por P e é paralelo a \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicadinha, sem pressa).
  • Um plano no espaço pode ser descrito por um ponto P do plano e por um vetor normal \vec{n} ao plano. A equação vetorial/escalares básica é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P})=0,
onde \vec{X}=(x,y,z) representa um ponto genérico do plano e \vec{P} é o vetor posição do ponto dado.
  • O ponto chave: se o plano é paralelo aos vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, então o vetor normal \vec{n} deve ser perpendicular a ambos. Um modo direto de obter um vetor perpendicular a dois vetores dados é o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}.
  • O produto vetorial de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é o vetor
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr),
e esse vetor é ortogonal a ambos os fatores (ou seja, seu produto escalar com cada um deles é zero).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}.
  • Escrevendo \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1), aplicamos a fórmula do produto vetorial componente a componente:
\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}} = \bigl(0\cdot(-1)-(-2)\cdot 2,\; (-2)\cdot 0 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 2 - 0\cdot 0\bigr).
Agora calcule cada componente:
  • Primeira componente: 0\cdot(-1)-(-2)\cdot 2 = 0 +4 = 4.
  • Segunda componente: (-2)\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 0 +1 = 1.
  • Terceira componente: 1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2 - 0 = 2.
Portanto
\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}} = (4,1,2).

Passo 4

Interpretação e verificação rápida (gentil e tranquilizadora).
  • O vetor \vec{n}=(4,1,2) é o candidato a normal do plano. Verificamos que ele é realmente perpendicular aos dois vetores:
\vec{n}\cdot\overrightarrow{v_{1}} = 4\cdot 1 + 1\cdot 0 + 2\cdot(-2) = 4 + 0 -4 = 0,
\vec{n}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = 4\cdot 0 + 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 0 + 2 -2 = 0.
Como os produtos escalares são zero, \vec{n} é perpendicular a ambos — perfeito. Além disso \vec{n}\neq(0,0,0), portanto \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} não são colineares e determinam um plano único passando por P.

Passo 5

Escrever a equação do plano usando \vec{n} e P.
  • Seja \vec{X}=(x,y,z). A condição da equação do plano é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P})=0.
Substituindo \vec{n}=(4,1,2) e \vec{P}=(-2,1,4) obtemos
(4,1,2)\cdot\bigl((x,y,z)-(-2,1,4)\bigr)=0.
Expandindo o parêntese:
(4,1,2)\cdot(x+2,\;y-1,\;z-4)=0.

Passo 6

Expandir o produto escalar e simplificar para a forma cartesiana padrão.
  • Calculando o produto escalar:
4(x+2) + 1(y-1) + 2(z-4) = 0.
  • Desenvolvendo os parênteses:
4x + 8 + y - 1 + 2z - 8 = 0.
  • Somando os termos constantes 8 -1 -8 = -1, portanto a equação fica
4x + y + 2z - 1 = 0.
  • Checagem final: substituindo as coordenadas de P=(-2,1,4) no lado esquerdo,
4(-2) + 1 + 2\cdot 4 - 1 = -8 + 1 + 8 -1 = 0,
logo P pertence ao plano (ótimo).

Resposta

4x + y + 2z - 1 = 0

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