Questão 1 [Total: 3,5 \mathrm{pt} ] Considere duas cascas esféricas condutoras concêntricas. A casca esférica interna tem raio R_{1} e a casca externa tem raio R_{2} (a espessura das cascas é desprezível em relação a R_{1} e R_{2}. A casca interna recebe uma carga elétrica líquida +Q e a carga externa recebe uma carga elétrica líquida -Q. No espaço entre as cascas, há vácuo.
(a) Qual o campo elétrico na região entre as cascas esféricas?
(b) Qual a diferença de potencial entre as cascas esféricas? Qual a capacitância?
(c) Se a região entre as esferas for preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica \kappa_{1},

Passo 1

O enunciado dá duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios:
  • casca interna: R_1,
  • casca externa: R_2 (com R_2>R_1).
As cargas líquidas são:
  • casca interna: +Q,
  • casca externa: -Q.
A região entre as cascas é vácuo (no item (c) será preenchida por um dielétrico de constante \kappa_{1}).
O que o enunciado pede:
(a) o campo elétrico na região entre as cascas esféricas ( R_1<r<R_2);
(b) a diferença de potencial entre as cascas e a capacitância do sistema;
(c) as alterações quando a região entre as esferas é preenchida por um dielétrico com constante dielétrica \kappa_{1}.

Passo 2

Entendendo fisicamente onde ficam as cargas e por quê (intuição importante antes de aplicar fórmulas).
  • Em condutores em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é zero.
  • Assim, a carga +Q da casca interna fica na superfície externa da casca interna (isto é, na superfície com raio R_1).
  • A casca externa, tendo carga líquida -Q, terá carga -Q distribuída na sua superfície interna (aquela de raio R_2) para anular o campo dentro do metal da casca externa; não há campo fora do conjunto porque as cargas totais somam zero.
    Estas observações explicam por que, entre as cascas, o único “carregamento livre” efetivamente presente para gerar campo é +Q localizado na superfície interna.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico entre as cascas usando a Lei de Gauss (a ferramenta ideal para simetrias esféricas).
A Lei de Gauss para o campo elétrico em vácuo diz que, para uma superfície fechada qualquer,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga livre envolvida pela superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r, com R_1<r<R_2. Pela simetria esférica:
  • \mathbf{E} é radial e tem mesma magnitude em todo o raio r,
  • a área da esfera Gaussiana é 4\pi r^{2}.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Entre as cascas a carga envolvida é Q_{\text{int}}=+Q. Assim,
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}\quad\text{direção radial (para fora)}\qquad\text{para }R_1<r<R_2.çã
Explicando cada símbolo:
  • E(r) é a intensidade do campo elétrico a uma distância r do centro;
  • Q é a carga da casca interna;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • r é o raio da superfície gaussiana escolhida, com R_1<r<R_2.

Passo 4

Cálculo da diferença de potencial entre as cascas. Primeiro lembrar a definição de diferença de potencial elétrico entre dois pontos a e b:
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui queremos a diferença de potencial entre a casca interna ( r=R_1) e a externa ( r=R_2). Convém definir claramente a ordem: vou calcular \Delta V\equiv V(R_1)-V(R_2) (potencial da casca interna menos potencial da casca externa). Usamos o caminho radial, e \mathbf{E} é radial, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(r)\,dr com sinal apropriado.
Portanto
V(R_1)-V(R_2)=-\int_{R_2}^{R_1} E(r)\,dr
(troquei os limites para que a integral tenha sentido positivo do exterior para o interior; isso é equivalente a integrar de R_1 até R_2 com sinal trocado). Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}:
V(R_1)-V(R_2)=-\int_{R_2}^{R_1}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
Calcule a integral (mostrando passo a passo):
\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{R_1}^{R_2}=-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}=\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}.
Portanto
V(R_1)-V(R_2)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Observação de sinal: como R_2>R_1, a quantidade \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} é positiva, então V(R_1)>V(R_2) quando o interior tem carga positiva, o que faz sentido físico.

Passo 5

Cálculo da capacitância do sistema esférico. Definição de capacitância de um sistema de dois condutores:
C=\frac{Q}{\Delta V},
onde \Delta V é a diferença de potencial entre os condutores para a carga Q no condutor interno (e carga oposta no outro). Usando \Delta V=V(R_1)-V(R_2) obtida acima:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)} =\frac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}}.
Fazendo a álgebra para deixar numa forma mais habitual:
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=\frac{R_2-R_1}{R_1R_2},
portanto
C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.
Interpretando: se R_2\to\infty recupera-se a capacitância de uma esfera isolada C=4\pi\varepsilon_0 R_1, o que é um bom teste de consistência.

Passo 6

Agora o item (c): se a região entre as esferas for preenchida por um material dielétrico homogêneo com constante dielétrica \kappa_{1}.
Teoria curta e útil: em presença de dielétrico linear homogêneo e isotrópico, substitui-se \varepsilon_0 por \varepsilon=\kappa_{1}\varepsilon_0 nas fórmulas que ligam \mathbf{E} e carga livre (mais precisamente usa-se \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e a lei de Gauss para \mathbf{D}: \oint\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre}}). Para uma geometria esférica, isso resulta em reduzir a intensidade do campo por um fator \kappa_{1} e aumentar a capacitância pelo mesmo fator.
Portanto, repetindo os passos essenciais com \varepsilon=\kappa_{1}\varepsilon_0:
Campo elétrico entre as cascas:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon\,r^{2}}=\frac{Q}{4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0\,r^{2}}, \qquad R_1<r<R_2.
Diferença de potencial:
V(R_1)-V(R_2)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) =\frac{Q}{4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Capacitância com o dielétrico:
C=\frac{Q}{V(R_1)-V(R_2)}=4\pi\varepsilon\frac{R_1R_2}{R_2-R_1} =4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.
Ou seja, a capacitância aumenta em um fator \kappa_{1} em relação ao caso do vácuo.

Passo 7

Resumo físico rápido (para fixar a intuição):
  • Entre as cascas o campo se comporta como o de uma carga pontual +Q no centro (decai como 1/r^{2}).
  • A diferença de potencial cresce com Q e com a “distância efetiva” entre as superfícies (controlada por 1/R_1-1/R_2).
  • Colocar um dielétrico reduz o campo para a mesma carga e aumenta a capacitância: o dielétrico “facilita” armazenar mais carga para a mesma diferença de potencial.
Força final de ânimo: essa derivação é padrão em eletrostática; memorizando as fórmulas finais e sabendo aplicar Gauss você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova. Vai dar certo!

Resposta

(a) \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}\quad para \;R_1<r<R_2, radial para fora.
(b) \displaystyle V(R_1)-V(R_2)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
\displaystyle C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.
(c) Com dielétrico de constante \kappa_{1} entre as esferas:
\displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0\,r^{2}}\quad para \;R_1<r<R_2.
\displaystyle V(R_1)-V(R_2)=\frac{Q}{4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
\displaystyle C=4\pi\kappa_{1}\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.

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