Questão 1 [Total:
] Considere duas cascas esféricas condutoras concêntricas. A casca esférica interna tem raio
e a casca externa tem raio
(a espessura das cascas é desprezível em relação a
e
. A casca interna recebe uma carga elétrica líquida
e a carga externa recebe uma carga elétrica líquida
. No espaço entre as cascas, há vácuo.
(a) Qual o campo elétrico na região entre as cascas esféricas?
(b) Qual a diferença de potencial entre as cascas esféricas? Qual a capacitância?
(c) Se a região entre as esferas for preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica
,
(a) Qual o campo elétrico na região entre as cascas esféricas?
(b) Qual a diferença de potencial entre as cascas esféricas? Qual a capacitância?
(c) Se a região entre as esferas for preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica
Passo 1
O enunciado dá duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios:
- casca interna:
, - casca externa:
(com ).
As cargas líquidas são:
- casca interna:
, - casca externa:
.
A região entre as cascas é vácuo (no item (c) será preenchida por um dielétrico de constante
).
O que o enunciado pede:
(a) o campo elétrico na região entre as cascas esféricas ( );
(b) a diferença de potencial entre as cascas e a capacitância do sistema;
(c) as alterações quando a região entre as esferas é preenchida por um dielétrico com constante dielétrica .
(a) o campo elétrico na região entre as cascas esféricas (
(b) a diferença de potencial entre as cascas e a capacitância do sistema;
(c) as alterações quando a região entre as esferas é preenchida por um dielétrico com constante dielétrica
Passo 2
Entendendo fisicamente onde ficam as cargas e por quê (intuição importante antes de aplicar fórmulas).
- Em condutores em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é zero.
- Assim, a carga
da casca interna fica na superfície externa da casca interna (isto é, na superfície com raio ). - A casca externa, tendo carga líquida
, terá carga distribuída na sua superfície interna (aquela de raio ) para anular o campo dentro do metal da casca externa; não há campo fora do conjunto porque as cargas totais somam zero.
Estas observações explicam por que, entre as cascas, o único “carregamento livre” efetivamente presente para gerar campo élocalizado na superfície interna.
Passo 3
Cálculo do campo elétrico entre as cascas usando a Lei de Gauss (a ferramenta ideal para simetrias esféricas).
A Lei de Gauss para o campo elétrico em vácuo diz que, para uma superfície fechada qualquer,
onde
é a carga livre envolvida pela superfície e
é a permissividade do vácuo.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
, com
. Pela simetria esférica:
-
é radial e tem mesma magnitude em todo o raio , - a área da esfera Gaussiana é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Entre as cascas a carga envolvida é
. Assim,
Explicando cada símbolo:
-
é a intensidade do campo elétrico a uma distância do centro; -
é a carga da casca interna; -
é a permissividade do vácuo; -
é o raio da superfície gaussiana escolhida, com .
Passo 4
Cálculo da diferença de potencial entre as cascas. Primeiro lembrar a definição de diferença de potencial elétrico entre dois pontos
e
:
Aqui queremos a diferença de potencial entre a casca interna (
) e a externa (
). Convém definir claramente a ordem: vou calcular
(potencial da casca interna menos potencial da casca externa). Usamos o caminho radial, e
é radial, então
com sinal apropriado.
Portanto
(troquei os limites para que a integral tenha sentido positivo do exterior para o interior; isso é equivalente a integrar de
até
com sinal trocado). Substituindo
:
Calcule a integral (mostrando passo a passo):
Portanto
Observação de sinal: como
, a quantidade
é positiva, então
quando o interior tem carga positiva, o que faz sentido físico.
Passo 5
Cálculo da capacitância do sistema esférico. Definição de capacitância de um sistema de dois condutores:
onde
é a diferença de potencial entre os condutores para a carga
no condutor interno (e carga oposta no outro). Usando
obtida acima:
Fazendo a álgebra para deixar numa forma mais habitual:
portanto
Interpretando: se
recupera-se a capacitância de uma esfera isolada
, o que é um bom teste de consistência.
Passo 6
Agora o item (c): se a região entre as esferas for preenchida por um material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
.
Teoria curta e útil: em presença de dielétrico linear homogêneo e isotrópico, substitui-se
por
nas fórmulas que ligam
e carga livre (mais precisamente usa-se
e a lei de Gauss para
:
). Para uma geometria esférica, isso resulta em reduzir a intensidade do campo por um fator
e aumentar a capacitância pelo mesmo fator.
Portanto, repetindo os passos essenciais com
:
Campo elétrico entre as cascas:
Diferença de potencial:
Capacitância com o dielétrico:
Ou seja, a capacitância aumenta em um fator
em relação ao caso do vácuo.
Passo 7
Resumo físico rápido (para fixar a intuição):
- Entre as cascas o campo se comporta como o de uma carga pontual
no centro (decai como ). - A diferença de potencial cresce com
e com a “distância efetiva” entre as superfícies (controlada por ). - Colocar um dielétrico reduz o campo para a mesma carga e aumenta a capacitância: o dielétrico “facilita” armazenar mais carga para a mesma diferença de potencial.
Força final de ânimo: essa derivação é padrão em eletrostática; memorizando as fórmulas finais e sabendo aplicar Gauss você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova. Vai dar certo!
Resposta
(a)
para
, radial para fora.
(b)
(c) Com dielétrico de constante
entre as esferas:
para
.