Um submarino (sub A) viaja através da água a uma velocidade de 8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, emitindo uma onda de sonar a uma frequência de 1400 Hz . A velocidade do som na água é de 1533 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Outro submarino (sub B) é localizado de tal modo que os dois estão viajando diretamente um em direção ao outro. O segundo submarino se move a 9,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Qual frequência é detectada por um observador no sub B, conforme os submarinos se aproximam?
(b) Enquanto os submarinos estão se aproximando um do outro, parte do som do sub A reflete do sub B e retorna ao sub A. Se esse som fosse detectado por um observador no sub A, qual seria sua frequência?
(R: (a) 1416 Hz ; (b) 1432 Hz ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Frequência emitida pelo submarino A: f=1400\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do som na água: v=1533\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do submarino A (fonte): v_s=8,00\\ \mathrm{m/s} (movendo-se em direção a B).
  • Velocidade do submarino B (observador): v_o=9,00\\ \mathrm{m/s} (movendo-se em direção a A).
  • Os submarinos movem-se diretamente um em direção ao outro.
Perguntas:
(a) Qual a frequência detectada por um observador em B enquanto se aproximam?
(b) Parte do som emitido por A reflete em B e volta para A. Qual a frequência detectada em A do som refletido?

Passo 2

Explicação didática do efeito Doppler usado aqui (passo a passo e sem pular etapas).
Ideia física simples: o efeito Doppler para ondas em um meio (aqui água) ocorre porque o movimento da fonte e/ou do observador altera a distância entre frentes de onda. Dois passos básicos:
  1. Se a fonte está parada e emite frequência f, o comprimento de onda é
\lambda=\frac{v}{f},
onde v é a velocidade das ondas no meio. Aqui \lambda é a distância entre frentes de onda consecutivas.
  1. Se a fonte se move na direção do observador com velocidade v_s, ela “aperta” as frentes, reduzindo o comprimento de onda efetivo para
\lambda'=\frac{v-v_s}{f}.
(Explicação: em um segundo a fonte produz f frentes; enquanto isso a primeira frente se afastou com velocidade v, mas a fonte avançou um trecho v_s, então a distância entre frentes fica menor: v/f - v_s/f=(v-v_s)/f.)
  1. Se o observador se move em direção à fonte com velocidade v_o, ele encontra as frentes mais rápido. A frequência percebida por esse observador é a velocidade relativa com que ele encontra as frentes dividido pelo comprimento de onda:
f'=\frac{v+v_o}{\lambda_{\text{efetiva}}}.
Se tanto fonte quanto observador se movem, combinamos as duas ideias: primeiro a fonte altera o comprimento de onda para \lambda'=(v-v_s)/f, depois o observador encontra essas frentes a taxa (v+v_o)/\lambda'. Portanto a fórmula geral (para sinais em um meio estacionário) é
\boxed{\,f' = f\,\frac{v+v_o}{v-v_s}\,}
onde:
  • f é a frequência emitida pela fonte (no referencial do meio),
  • v é a velocidade do som no meio,
  • v_o é a velocidade do observador medida no referencial do meio; tomar v_o>0 se o observador se aproxima da fonte,
  • v_s é a velocidade da fonte medida no referencial do meio; tomar v_s>0 se a fonte se aproxima do observador.
Esta fórmula é a que usaremos. Não há sinais estranhos porque os dois submarinos se aproximam, então v_o e v_s entram com sinais positivos nas posições acima.

Passo 3

Cálculo do item (a): frequência detectada por B enquanto se aproximam.
Aplicamos a fórmula com f=1400\\ \text{Hz}, v=1533\\ \mathrm{m/s}, v_o=9,00\\ \mathrm{m/s} e v_s=8,00\\ \mathrm{m/s}:
f_B = f\,\frac{v+v_o}{v-v_s} =1400\cdot\frac{1533+9,00}{1533-8,00}.
Calculemos passo a passo os termos:
v+v_o=1533+9,00=1542\\ \mathrm{m/s}, \qquad v-v_s=1533-8,00=1525\\ \mathrm{m/s}.
Assim
f_B = 1400\cdot\frac{1542}{1525}.
Avaliação numérica:
\frac{1542}{1525}\approx1,0111475\quad\Rightarrow\quad f_B\approx1400\cdot1,0111475\approx1415,61\\ \text{Hz}.
Arredondando para o Hz mais próximo: f_B\approx1416\\ \text{Hz}.

Passo 4

Entendimento físico do item (b) (como tratar a reflexão): por que não usamos uma fórmula diferente?
Quando o som de A atinge B, B age primeiro como observador (recebe a onda com frequência f_B que acabamos de calcular). A reflexão em B faz com que B re-emita (reflection) as ondas de volta para A; do ponto de vista do meio, essa reflexão pode ser tratada como se B fosse uma fonte que emite ondas com a frequência que ela “recebeu” (ou seja, f_B), porque a superfície móvel reflete as frentes mantendo a taxa com que elas chegam ao B. Assim o processo de ida+volta é equivalentemente: fonte original emite f → observador B recebe f_B B reflete (actua como fonte) com frequência f_B → observador A recebe a onda refletida com nova mudança Doppler.
Portanto, para a onda refletida, aplicamos novamente a fórmula Doppler, agora com:
  • frequência da “nova fonte” (a superfície refletora B) igual a f_B,
  • v_s' sendo a velocidade de B quando atua como fonte (aqui v_s'=9,00\\ \mathrm{m/s} movendo-se em direção a A),
  • v_o' sendo a velocidade de A quando atua como observador (aqui v_o'=8,00\\ \mathrm{m/s} movendo-se em direção a B).
A mesma fórmula vale:
f_{\text{refletida}} = f_B\,\frac{v+v_o'}{v-v_s'}.

Passo 5

Cálculo do item (b) aplicando o raciocínio do passo anterior.
Temos f_B do passo 3 como
f_B = f\frac{v+v_o}{v-v_s} = 1400\cdot\frac{1542}{1525}.
Agora aplicamos a segunda mudança Doppler com v_o'=8,00\\ \mathrm{m/s} e v_s'=9,00\\ \mathrm{m/s}:
f_{\text{refletida}} = f_B\cdot\frac{v+v_o'}{v-v_s'} = \left(1400\cdot\frac{1542}{1525}\right)\cdot\frac{1533+8,00}{1533-9,00}.
Calculemos os novos termos:
v+v_o'=1533+8,00=1541\\ \mathrm{m/s}, \qquad v-v_s'=1533-9,00=1524\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
f_{\text{refletida}} = 1400\cdot\frac{1542}{1525}\cdot\frac{1541}{1524}.
Avaliação numérica (fazendo produto das razões ou multiplicando passo a passo):
\frac{1542}{1525}\cdot\frac{1541}{1524}\approx1,022420\quad\Rightarrow\quad f_{\text{refletida}}\approx1400\cdot1,022420\approx1431,39\\ \text{Hz}.
Arredondando para o Hz mais próximo: f_{\text{refletida}}\approx1432\\ \text{Hz}.

Passo 6

Cheque rápido e interpretação: o valor em (b) é maior que em (a) porque o som sofre duas mudanças Doppler a favor do aumento de frequência (primeiro ao ser recebido por B, depois ao voltar e ser recebido por A). Isso é consistente com o fato de que os dois submarinos continuam se aproximando durante todo o processo.
Força aí — você já tem a técnica: usar a fórmula \,f' = f\frac{v+v_o}{v-v_s}\, e, no caso de reflexão, aplicar duas vezes (observador móvel primeiro, depois tratar o refletor como fonte móvel).

Resposta

(a) 1416\\ \text{Hz}
(b) 1432\\ \text{Hz}

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