Um submarino (sub A) viaja através da água a uma velocidade de
, emitindo uma onda de sonar a uma frequência de 1400 Hz . A velocidade do som na água é de
. Outro submarino (sub B) é localizado de tal modo que os dois estão viajando diretamente um em direção ao outro. O segundo submarino se move a
.
(a) Qual frequência é detectada por um observador no sub B, conforme os submarinos se aproximam?
(b) Enquanto os submarinos estão se aproximando um do outro, parte do som do sub A reflete do sub B e retorna ao sub A. Se esse som fosse detectado por um observador no sub A, qual seria sua frequência?
(R: (a) 1416 Hz ; (b) 1432 Hz ).
(a) Qual frequência é detectada por um observador no sub B, conforme os submarinos se aproximam?
(b) Enquanto os submarinos estão se aproximando um do outro, parte do som do sub A reflete do sub B e retorna ao sub A. Se esse som fosse detectado por um observador no sub A, qual seria sua frequência?
(R: (a) 1416 Hz ; (b) 1432 Hz ).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Frequência emitida pelo submarino A:
. - Velocidade do som na água:
. - Velocidade do submarino A (fonte):
(movendo-se em direção a B). - Velocidade do submarino B (observador):
(movendo-se em direção a A). - Os submarinos movem-se diretamente um em direção ao outro.
Perguntas:
(a) Qual a frequência detectada por um observador em enquanto se aproximam?
(b) Parte do som emitido por reflete em
e volta para
. Qual a frequência detectada em
do som refletido?
(a) Qual a frequência detectada por um observador em
(b) Parte do som emitido por
Passo 2
Explicação didática do efeito Doppler usado aqui (passo a passo e sem pular etapas).
Ideia física simples: o efeito Doppler para ondas em um meio (aqui água) ocorre porque o movimento da fonte e/ou do observador altera a distância entre frentes de onda. Dois passos básicos:
- Se a fonte está parada e emite frequência
, o comprimento de onda é
onde
é a velocidade das ondas no meio. Aqui
é a distância entre frentes de onda consecutivas.
- Se a fonte se move na direção do observador com velocidade
, ela “aperta” as frentes, reduzindo o comprimento de onda efetivo para
(Explicação: em um segundo a fonte produz
frentes; enquanto isso a primeira frente se afastou com velocidade
, mas a fonte avançou um trecho
, então a distância entre frentes fica menor:
.)
- Se o observador se move em direção à fonte com velocidade
, ele encontra as frentes mais rápido. A frequência percebida por esse observador é a velocidade relativa com que ele encontra as frentes dividido pelo comprimento de onda:
Se tanto fonte quanto observador se movem, combinamos as duas ideias: primeiro a fonte altera o comprimento de onda para
, depois o observador encontra essas frentes a taxa
. Portanto a fórmula geral (para sinais em um meio estacionário) é
onde:
-
é a frequência emitida pela fonte (no referencial do meio), -
é a velocidade do som no meio, -
é a velocidade do observador medida no referencial do meio; tomar se o observador se aproxima da fonte, -
é a velocidade da fonte medida no referencial do meio; tomar se a fonte se aproxima do observador.
Esta fórmula é a que usaremos. Não há sinais estranhos porque os dois submarinos se aproximam, então
e
entram com sinais positivos nas posições acima.
Passo 3
Cálculo do item (a): frequência detectada por
enquanto se aproximam.
Aplicamos a fórmula com
,
,
e
:
Calculemos passo a passo os termos:
Assim
Avaliação numérica:
Arredondando para o Hz mais próximo:
Passo 4
Entendimento físico do item (b) (como tratar a reflexão): por que não usamos uma fórmula diferente?
Quando o som de
atinge
,
age primeiro como observador (recebe a onda com frequência
que acabamos de calcular). A reflexão em
faz com que
re-emita (reflection) as ondas de volta para
; do ponto de vista do meio, essa reflexão pode ser tratada como se
fosse uma fonte que emite ondas com a frequência que ela “recebeu” (ou seja,
), porque a superfície móvel reflete as frentes mantendo a taxa com que elas chegam ao B. Assim o processo de ida+volta é equivalentemente: fonte original emite
→ observador
recebe
→
reflete (actua como fonte) com frequência
→ observador
recebe a onda refletida com nova mudança Doppler.
Portanto, para a onda refletida, aplicamos novamente a fórmula Doppler, agora com:
- frequência da “nova fonte” (a superfície refletora
) igual a , -
sendo a velocidade de quando atua como fonte (aqui movendo-se em direção a ), -
sendo a velocidade de quando atua como observador (aqui movendo-se em direção a ).
A mesma fórmula vale:
Passo 5
Cálculo do item (b) aplicando o raciocínio do passo anterior.
Temos
do passo 3 como
Agora aplicamos a segunda mudança Doppler com
e
:
Calculemos os novos termos:
Portanto
Avaliação numérica (fazendo produto das razões ou multiplicando passo a passo):
Arredondando para o Hz mais próximo:
Passo 6
Cheque rápido e interpretação: o valor em (b) é maior que em (a) porque o som sofre duas mudanças Doppler a favor do aumento de frequência (primeiro ao ser recebido por
, depois ao voltar e ser recebido por
). Isso é consistente com o fato de que os dois submarinos continuam se aproximando durante todo o processo.
Força aí — você já tem a técnica: usar a fórmula
e, no caso de reflexão, aplicar duas vezes (observador móvel primeiro, depois tratar o refletor como fonte móvel).
Resposta
(a)
(b)