Considere uma fonte pontual emitindo ondas sonoras esféricas uniformemente em todas as direções. Sendo a potência média media irradiada 25 W , determine:
(a) A intensidade sonora I da onda a uma distância R =2,5 \mathrm{~m}.
(b) o nível de intensidade sonora, em decibéis, a uma distância \mathrm{R}=2,5 \mathrm{~m}.
(R: (a) 0,32 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ); (b) 115 dB ).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Potência média irradiada pela fonte pontual: P=25\\ \mathrm{W}.
  • Distância onde se deseja a intensidade/nível: R=2,5\\ \mathrm{m}.
    Perguntas:
    (a) Determinar a intensidade sonora I a R=2,5\\ \mathrm{m}.
    (b) Determinar o nível de intensidade sonora (em decibéis) a R=2,5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula útil para (a): ondas sonoras esféricas provenientes de uma fonte pontual distribuem a potência uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio R. A intensidade sonora é a potência por unidade de área:
I=\frac{P}{A},
onde A é a área da esfera. A área da esfera de raio R é
A=4\pi R^{2}.
Aqui cada variável significa:
  • I: intensidade média em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
  • P: potência média irradiada em \mathrm{W},
  • R: distância da fonte em \mathrm{m},
  • \pi: constante matemática (aprox. 3,1416).
Aplicando as fórmulas com os valores dados:
A=4\pi R^{2}=4\pi(2,5)^{2}=4\pi\cdot6,25=25\pi.
Portanto
I=\frac{P}{4\pi R^{2}}=\frac{25}{25\pi}=\frac{1}{\pi}.
Para obter um valor numérico sem calculadora pode-se usar a aproximação \pi\approx\frac{22}{7}, então
\frac{1}{\pi}\approx\frac{7}{22}\approx0,31818\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Arredondando como no enunciado, obtemos I\approx0,32\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 3

Conceito e fórmula útil para (b): o nível de intensidade sonora \beta (em decibéis, dB) é definido por
\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde:
  • I é a intensidade medida (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}),
  • I_{0} é a intensidade de referência adotada em acústica: I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
    Explicação rápida do fator 10: decibel mede razão de potências; logo usa-se 10\log_{10} (enquanto que sinais em amplitude usam 20\log_{10}).

Passo 4

Calcular \beta usando I=\dfrac{1}{\pi}\approx0,31818\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}:
\frac{I}{I_{0}}=\frac{0,31818}{10^{-12}}=0,31818\times10^{12}=3,1818\times10^{11}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}\!\left(3{,}1818\times10^{11}\right)=\log_{10}(3{,}1818)+11.
Usando tabelas conhecidas: \log_{10}(3)\approx0{,}4771 e \log_{10}(3{,}1818)\approx0{,}5027. Assim
\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\approx11{,}5027.
Multiplicando por 10:
\beta=10\times11{,}5027\approx115{,}03\\ \mathrm{dB}.
Arredondando, obtemos \beta\approx115\\ \mathrm{dB}, que é o valor do enunciado.

Passo 5

Resumo prático de como fazer isso rápido numa prova:
  • Use I=P/(4\pi R^{2}). Para P=25\\ \mathrm{W} e R=2{,}5\\ \mathrm{m} a conta simplifica porque 4\pi R^{2}=25\pi, então I=1/\pi.
  • Para o nível em dB use \beta=10\log_{10}(I/10^{-12}). Calcule I/10^{-12}, ache \log_{10} (usando \log_{10}3\approx0{,}4771 se precisar) e multiplique por 10.

Resposta

I=0,32\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
\beta=115\\ \mathrm{dB}

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