Questão 4 (Transformações de Funções - Desafio Completo):
Esboce o gráfico de f(x)=-3 raiz2 x+6-1 a partir de y=raizx. Descreva cada etapa de transformação.

Passo 1

O enunciado pede para obter o gráfico de
f(x) = -3raiz2x+6 - 1
a partir da função base y = raizx. Vamos usar o estudo de transformações de funções: translações horizontais, compressões/esticamentos, reflexões e translações verticais.

Passo 2

Primeiro aplicamos uma translação horizontal de 3 unidades para a esquerda. Em y=raizx substituímos x por x+3, obtendo
y1 = raizx+3,
Graficamente, o vértice que era (0,0) passa para (-3,0).

Passo 3

Em seguida comprimimos horizontalmente por um fator 1/2. Isso se faz substituindo x por 2x em y1, resultando em
y2 = raiz2x+6,
O ponto (-3,0) continua o mesmo, mas a curva “cresce” mais rápido em x.

Passo 4

Agora esticamos verticalmente por fator 3 e refletimos em torno do eixo x. Basta multiplicar y2 por -3, o que produz
y3 = -3raiz2x+6,
O vértice permanece em (-3,0), mas a concavidade inverte e a inclinação fica três vezes maior em módulo.

Passo 5

Por fim, deslocamos verticalmente 1 unidade para baixo: subtraímos 1 de y3, chegando em
f(x) = -3raiz2x+6 - 1
O vértice vai para (-3,-1) e o domínio é x>= -3.

Resposta

O gráfico de f(x)=-3raiz2x+6-1 é obtido a partir de y=raizx aplicando, na ordem:
  1. translação 3 unidades à esquerda;
  2. compressão horizontal de fator 1/2;
  3. esticamento vertical de fator 3 e reflexão no eixo x;
  4. translação 1 unidade para baixo.
    O vértice final é (-3,-1), o domínio é x>= -3 e à medida que xto+infty temos f(x)to -infty.

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