Questão 1: Três cargas pontuais q_{1}=7,00 \mu \mathrm{C}, q_{2}=2,00 \mu \mathrm{C}, q_{3}=-4,00 \mu \mathrm{C}, são colocadas nos vértices 1:(a / 2, \sqrt{3} a / 2), 2:(0,0), 3:(a, 0) dé un tirângulo équilátero de lado a=0,500 \mathrm{~m}. Calcule a força elétrica (componentes retangulares e módulo do vetor):
(a) (10pts) Da carga q_{2} sobre a carga q_{1}.
(b) (10pts) Da carga q_{3} sobre a carga q_{1}.
(c) (5pts) Resultante sobre a carga q_{1}.

Passo 1

O enunciado apresenta três cargas pontuais em vértices de um triângulo equilátero de lado a=0,500\\ \mathrm{m}: \displaystyle q_{1}=7{,}00\,\mu\mathrm{C} em \bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\bigr), \displaystyle q_{2}=2{,}00\,\mu\mathrm{C} em (0,0) e \displaystyle q_{3}=-4{,}00\,\mu\mathrm{C} em (a,0).
Queremos a força elétrica sobre q_{1} devida a q_{2}, a devida a q_{3} e a resultante total. Vamos usar a lei de Coulomb e soma vetorial.

Passo 2

Para a força de q_{2} sobre q_{1}, note que q_{1} e q_{2} são de mesmo sinal (repulsão). O vetor que sai de q_{2} e vai a q_{1} é
\mathbf{r}_{21} = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\bigr) - (0,0) = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\bigr),
com módulo \lvert \mathbf{r}_{21}\rvert = a. O versor é
\hat{\mathbf{r}}_{21} = \Bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
O módulo da força é
F_{21} = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{a^{2}} = (8{,}988\times10^{9})\, \frac{(7{,}00\times10^{-6})(2{,}00\times10^{-6})}{(0{,}500)^{2}} \approx 0{,}503\\ \mathrm{N}.
Logo, em componentes retangulares,
\mathbf{F}_{21} = F_{21}\,\hat{\mathbf{r}}_{21} = 0{,}503\, \Bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) \approx (0{,}252,\;0{,}436)\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Para a força de q_{3} sobre q_{1}, temos atração (sinais opostos). O vetor de q_{1} a q_{3} é
\mathbf{r}_{31} = (a,0) - \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\bigr) = \bigl(\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\bigr),
módulo \lvert \mathbf{r}_{31}\rvert = a e versor
\hat{\mathbf{r}}_{31} = \Bigl(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
O módulo da força é
F_{31} = k\,\frac{\lvert q_{1}q_{3}\rvert}{a^{2}} = (8{,}988\times10^{9})\, \frac{(7{,}00\times10^{-6})(4{,}00\times10^{-6})}{(0{,}500)^{2}} \approx 1{,}007\\ \mathrm{N}.
Em componentes,
\mathbf{F}_{31} = F_{31}\,\hat{\mathbf{r}}_{31} = 1{,}007\, \Bigl(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) \approx (0{,}504,\,-0{,}873)\\ \mathrm{N}.

Passo 4

A resultante sobre q_{1} é a soma vetorial:
\mathbf{F}_{\text{res}} = \mathbf{F}_{21} + \mathbf{F}_{31} \approx (0{,}252,\;0{,}436) + (0{,}504,\,-0{,}873) = (0{,}756,\,-0{,}437)\\ \mathrm{N}.
O módulo desta resultante é
\lvert \mathbf{F}_{\text{res}}\rvert = \sqrt{0{,}756^{2} + (-0{,}437)^{2}} \approx 0{,}873\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) \mathbf{F}_{21}\approx(0{,}252,\;0{,}436)\\ \mathrm{N}, \lvert\mathbf{F}_{21}\rvert\approx0{,}503\\ \mathrm{N}.\n (b) \(\mathbf{F}_{31}\approx(0{,}504,\,-0{,}873)\\ \mathrm{N}, \lvert\mathbf{F}_{31}\rvert\approx1{,}007\\ \mathrm{N}.\n \text{(c)} \(\mathbf{F}_{\text{res}}\approx(0{,}756,\,-0{,}437)\\ \mathrm{N}, \lvert\mathbf{F}_{\text{res}}\rvert\approx0{,}873\\ \mathrm{N}.)

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