Um cilindro vertical de altura H=0,10 \mathrm{~m} e diâmetro d=0,05 \mathrm{~m} é colocado sobre um pedestal isolado. O cilindro de alumínio ( \rho=2702 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c=949 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) está inicialmente a 30^{\circ} \mathrm{C}, e o ambiente está a 400^{\circ} \mathrm{C}. As condições ambientais săo tais que o coeficiente de troca de calor por Conveçăo-Radiação é igual a 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Deseja-se saber: (a) o instante em que a temperatura do cilindro alcança 200^{\circ} \mathrm{C} e (b) o calor trocado pelo cilindro até este instante; (c) o calor trocado pela superficie lateral até este instante \mathrm{e}(\mathrm{d}) o calor total trocado pelo ambiente e cilindro após o regime permanente ter sido alcançado.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de alumínio com as seguintes informações (vou listar tudo que importa, passo a passo, para não nos perdermos):
  • Altura: H=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro: d=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do alumínio: \rho=2702\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calor específico do alumínio: c=949\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg\cdot K}.
  • Temperatura inicial do cilindro: T_i=30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (fornecida): T_\infty=400^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente combinado convecção-radiação: h=500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • O cilindro está sobre um pedestal isolado: isso significa que a base em contato com o pedestal não troca calor — as superfícies expostas que transferem calor são a superfície lateral e a tampa superior.
O que o enunciado pede:
(a) o instante em que a temperatura do cilindro alcança 200^\circ\mathrm{C};
(b) o calor trocado pelo cilindro até esse instante;
(c) o calor trocado pela superfície lateral até esse instante;
(d) o calor total trocado (ambiente ↔ cilindro) após o regime permanente ser alcançado.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (passo importante para saber se podemos tratar o corpo como de temperatura uniforme — método “lumped capacitance”).
  • Para usar o método de “lumped capacitance” precisamos que o número de Biot seja pequeno: \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}\lesssim 0{,}1, onde L_c é o comprimento característico L_c=V/A (volume sobre área de troca) e k é a condutividade térmica do material.
  • O enunciado não deu k. Vou usar o valor típico do alumínio: k\approx 205\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}. Isso é normal em exercícios; se fosse muito sensível à escolha de k eu avisaria.
  • Primeiro calculamos V, A e L_c (isso é só geometria, explico na próxima etapa). Depois calculamos \mathrm{Bi}. Se \mathrm{Bi}<0{,}1, o método lumped vale e a solução é simples e direta (resolução analítica do balanço energético com temperatura uniforme no sólido).
  • Se Bi fosse grande teríamos que resolver equações de condução no sólido (muito mais trabalhoso). Como veremos, Bi dá pequeno, então usamos lumped.

Passo 3

Fórmulas e derivação do modelo lumped (aula rápida e prática).
  • Definição de volume do cilindro: \displaystyle V = \pi r^2 H com r=d/2.
  • Áreas que trocam calor: superfície lateral \displaystyle A_{\mathrm{lat}}=\pi d H e tampa superior \displaystyle A_{\mathrm{top}}=\pi r^2. Área total exposta \displaystyle A=A_{\mathrm{lat}}+A_{\mathrm{top}}.
  • Balanço energético (modelo lumped): a potência térmica fornecida pela convecção-radiação é \dot{Q} = h A \bigl(T_\infty - T(t)\bigr). Essa energia aumenta a energia interna do corpo: m c \dfrac{dT}{dt} = h A \bigl(T_\infty - T(t)\bigr).
  • Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Reescrevendo:
\frac{dT}{dt} + \frac{hA}{m c}\,T = \frac{hA}{m c}\,T_\infty.
  • A solução (com T(0)=T_i) é a conhecida exponencial de aquecimento:
T(t)=T_\infty - \bigl(T_\infty - T_i\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{m c}\,t\Bigr).
  • Define-se a constante de tempo térmica
\tau=\frac{m c}{h A}.
Então
T(t)=T_\infty - \bigl(T_\infty - T_i\bigr)e^{-t/\tau}.
  • Energia trocada pelo corpo entre 0 e t (energia absorvida) é simplesmente
Q_{\mathrm{corpo}}(t)=m c\bigl(T(t)-T_i\bigr).
  • A distribuição da energia entre superfícies é proporcional às áreas, porque a taxa local é h A_j (T_\infty - T(t)) e T(t) é comum (lumped). Assim a fração vinda da superfície lateral é A_{\mathrm{lat}}/A.

Passo 4

Cálculos geométricos e parâmetros numéricos (aqui fazemos as contas com cuidado, passo a passo):
  • raio: \displaystyle r=\frac{d}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • volume:
V=\pi r^2 H=\pi(0{,}025)^2(0{,}10)=\pi\cdot 0{,}000625\cdot0{,}10=\pi\cdot 0{,}0000625=1{,}9634954\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • área lateral:
A_{\mathrm{lat}}=\pi d H=\pi\cdot 0{,}05\cdot0{,}10=\pi\cdot0{,}005=0{,}0157079633\\ \mathrm{m}^2.
  • área da tampa superior:
A_{\mathrm{top}}=\pi r^2=\pi\cdot(0{,}025)^2=\pi\cdot0{,}000625=0{,}0019634954\\ \mathrm{m}^2.
  • área total exposta:
A= A_{\mathrm{lat}}+A_{\mathrm{top}}=0{,}0176714587\\ \mathrm{m}^2.
  • comprimento característico:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{1{,}9634954\times10^{-4}}{0{,}0176714587}=0{,}0111111111\\ \mathrm{m}.
  • número de Biot (com k=205\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}):
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{500\cdot0{,}0111111111}{205}\approx0{,}0271.
Como \mathrm{Bi}\ll0{,}1, o modelo lumped é válido — ufa, podemos usar aquela solução exponencial.
  • massa do cilindro:
m=\rho V=2702\cdot1{,}9634954\times10^{-4}=0{,}53053646\\ \mathrm{kg}.
  • capacidade térmica:
m c=0{,}53053646\cdot949=503{,}4791\\ \mathrm{J/K}.
  • produto hA:
hA=500\cdot0{,}0176714587=8{,}83572935\\ \mathrm{W/K}.
  • constante de tempo:
\tau=\frac{m c}{hA}=\frac{503{,}4791}{8{,}83572935}=56{,}985\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

(a) instante em que T(t)=200^\circ\mathrm{C}. Usamos a solução exponencial:
T(t)=T_\infty - (T_\infty - T_i)e^{-t/\tau}.
Isolando o expoente:
e^{-t/\tau}=\frac{T_\infty - T(t)}{T_\infty - T_i}=\frac{400-200}{400-30}=\frac{200}{370}=0{,}54054054\ldots
Logo
t=-\tau\ln\!\left(0{,}54054054\right)=\tau\ln\!\left(\frac{1}{0{,}54054054}\right).
Substituindo \tau\approx56{,}985\\ \mathrm{s}:
t\approx 56{,}985\times 0{,}615859 \approx 35{,}09\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo pedido é cerca de 35{,}1\\ \mathrm{s}.

Passo 6

(b) calor trocado pelo cilindro até esse instante t (energia absorvida pelo cilindro). Fórmula direta:
Q_{\mathrm{corpo}}(t)=m c\bigl(T(t)-T_i\bigr).
Com T(t)=200^\circ\mathrm{C} e T_i=30^\circ\mathrm{C}:
Q_{\mathrm{corpo}}(t)=503{,}4791\cdot(200-30)=503{,}4791\cdot170\approx 85{,}591{,}4\\ \mathrm{J}.
Ou seja, aproximadamente 8{,}56\times10^4\\ \mathrm{J} absorvidos até T=200^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

(c) calor trocado pela superfície lateral até esse instante. Explico duas formas (elas dão o mesmo resultado):
Forma A — proporcional às áreas (mais simples e prática): como a temperatura do corpo é uniforme, a taxa de calor através de cada superfície é proporcional à sua área. Assim a fração que saiu pela lateral é
\frac{A_{\mathrm{lat}}}{A}=\frac{0{,}0157079633}{0{,}0176714587}=\frac{1}{1{,}125}=0{,}8888889\\ (\text{ou }8/9).
Logo
Q_{\mathrm{lat}}(t)=\frac{A_{\mathrm{lat}}}{A}\,Q_{\mathrm{corpo}}(t)=\frac{8}{9}\cdot85{,}591{,}4\\ \mathrm{J}\approx 76{,}081{,}3\\ \mathrm{J}.
Forma B — integral da potência instantânea (confirmação):
Q_{\mathrm{lat}}(t)=\int_0^{t} h A_{\mathrm{lat}}\bigl(T_\infty - T(\tau)\bigr)\,d\tau = h A_{\mathrm{lat}}(T_\infty-T_i)\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
com \tau=\dfrac{m c}{hA}. Substituindo e simplificando dá exatamente a mesma expressão numérica acima.
Portanto, até t\approx35{,}1\\ \mathrm{s} a superfície lateral forneceu aproximadamente 7{,}61\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

(d) calor total trocado após atingir o regime permanente (isto é, energia total fornecida pelo ambiente ao cilindro quando a temperatura do cilindro chega a T_\infty). No regime permanente o cilindro atinge T_\infty e a energia total transferida desde t=0 é simplesmente:
Q_{\infty}=m c\bigl(T_\infty-T_i\bigr).
Substituindo:
Q_{\infty}=503{,}4791\cdot(400-30)=503{,}4791\cdot370\approx 186{,}287{,}3\\ \mathrm{J}.
Ou seja, aproximadamente 1{,}86\times10^{5}\\ \mathrm{J} no total. (Se quiser, a parte da lateral é 8/9 disso e a tampa 1/9.)

Resposta

(a) t\approx 35{,}1\\ \mathrm{s}
(b) Q_{\mathrm{corpo}}(t)\approx 8{,}559\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
(c) Q_{\mathrm{lat}}(t)\approx 7{,}608\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
(d) Q_{\infty}\approx 1{,}8629\times 10^{5}\\ \mathrm{J}

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