Um cilindro vertical de altura
e diâmetro
é colocado sobre um pedestal isolado. O cilindro de alumínio (
) está inicialmente a
, e o ambiente está a
. As condições ambientais săo tais que o coeficiente de troca de calor por Conveçăo-Radiação é igual a
. Deseja-se saber: (a) o instante em que a temperatura do cilindro alcança
e (b) o calor trocado pelo cilindro até este instante; (c) o calor trocado pela superficie lateral até este instante
o calor total trocado pelo ambiente e cilindro após o regime permanente ter sido alcançado.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de alumínio com as seguintes informações (vou listar tudo que importa, passo a passo, para não nos perdermos):
- Altura:
. - Diâmetro:
. - Densidade do alumínio:
. - Calor específico do alumínio:
. - Temperatura inicial do cilindro:
. - Temperatura do ambiente (fornecida):
. - Coeficiente combinado convecção-radiação:
. - O cilindro está sobre um pedestal isolado: isso significa que a base em contato com o pedestal não troca calor — as superfícies expostas que transferem calor são a superfície lateral e a tampa superior.
O que o enunciado pede:
(a) o instante em que a temperatura do cilindro alcança ;
(b) o calor trocado pelo cilindro até esse instante;
(c) o calor trocado pela superfície lateral até esse instante;
(d) o calor total trocado (ambiente ↔ cilindro) após o regime permanente ser alcançado.
(a) o instante em que a temperatura do cilindro alcança
(b) o calor trocado pelo cilindro até esse instante;
(c) o calor trocado pela superfície lateral até esse instante;
(d) o calor total trocado (ambiente ↔ cilindro) após o regime permanente ser alcançado.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (passo importante para saber se podemos tratar o corpo como de temperatura uniforme — método “lumped capacitance”).
- Para usar o método de “lumped capacitance” precisamos que o número de Biot seja pequeno:
, onde é o comprimento característico (volume sobre área de troca) e é a condutividade térmica do material. - O enunciado não deu
. Vou usar o valor típico do alumínio: . Isso é normal em exercícios; se fosse muito sensível à escolha de eu avisaria. - Primeiro calculamos
, e (isso é só geometria, explico na próxima etapa). Depois calculamos . Se , o método lumped vale e a solução é simples e direta (resolução analítica do balanço energético com temperatura uniforme no sólido). - Se Bi fosse grande teríamos que resolver equações de condução no sólido (muito mais trabalhoso). Como veremos, Bi dá pequeno, então usamos lumped.
Passo 3
Fórmulas e derivação do modelo lumped (aula rápida e prática).
- Definição de volume do cilindro:
com . - Áreas que trocam calor: superfície lateral
e tampa superior . Área total exposta . - Balanço energético (modelo lumped): a potência térmica fornecida pela convecção-radiação é
. Essa energia aumenta a energia interna do corpo: . - Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Reescrevendo:
- A solução (com
) é a conhecida exponencial de aquecimento:
- Define-se a constante de tempo térmica
Então
- Energia trocada pelo corpo entre
e (energia absorvida) é simplesmente
- A distribuição da energia entre superfícies é proporcional às áreas, porque a taxa local é
e é comum (lumped). Assim a fração vinda da superfície lateral é .
Passo 4
Cálculos geométricos e parâmetros numéricos (aqui fazemos as contas com cuidado, passo a passo):
- raio:
. - volume:
- área lateral:
- área da tampa superior:
- área total exposta:
- comprimento característico:
- número de Biot (com
):
Como
, o modelo lumped é válido — ufa, podemos usar aquela solução exponencial.
- massa do cilindro:
- capacidade térmica:
- produto
:
- constante de tempo:
Passo 5
(a) instante em que
. Usamos a solução exponencial:
Isolando o expoente:
Logo
Substituindo
:
Portanto o tempo pedido é cerca de
.
Passo 6
(b) calor trocado pelo cilindro até esse instante
(energia absorvida pelo cilindro). Fórmula direta:
Com
e
:
Ou seja, aproximadamente
absorvidos até
.
Passo 7
(c) calor trocado pela superfície lateral até esse instante. Explico duas formas (elas dão o mesmo resultado):
Forma A — proporcional às áreas (mais simples e prática): como a temperatura do corpo é uniforme, a taxa de calor através de cada superfície é proporcional à sua área. Assim a fração que saiu pela lateral é
Logo
Forma B — integral da potência instantânea (confirmação):
com
. Substituindo e simplificando dá exatamente a mesma expressão numérica acima.
Portanto, até
a superfície lateral forneceu aproximadamente
.
Passo 8
(d) calor total trocado após atingir o regime permanente (isto é, energia total fornecida pelo ambiente ao cilindro quando a temperatura do cilindro chega a
). No regime permanente o cilindro atinge
e a energia total transferida desde
é simplesmente:
Substituindo:
Ou seja, aproximadamente
no total. (Se quiser, a parte da lateral é
disso e a tampa
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)