Questão 3 - Um tubo fino tem a forma de uma casca cilídrica sólida, fechada e de comprimento L ao longo da direção axial. A casca está em repouso com os dois tampos circulares na vertical, de modo que a llinha que une os centros dos seus tampos fique na horizontal, com suas extremidades posicionadas em x=0 e x=L. Na parte inferior do tubo há uma pequena quantidade de serragem distribuida ao longo de x. O tampo que está em x=0 passa a vibrar como uma membrana, provocando a propagação de ondas sonoras dentro do tubo. Considere apenas a propagação ao longo de x. Para a frequência fundamental de ressonância,
(a) Determine as posições em que a serragem se aglutina.
(b) Determine as posições em que a pressão é constante, se houver alguma.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo de comprimento L com as duas extremidades fechadas e vibração axial no modo fundamental de ressonância. Vamos tratar disso como uma onda estacionária unidimensional em que, por ser tubo de paredes rígidas, o deslocamento da partícula do ar u(x,t) é nulo em x=0 e x=L, enquanto a pressão acústica p(x,t) apresenta antinós (máxima variação) nessas extremidades.

Passo 2

No modo fundamental para tubo fechado-em-fechado, temos
L = \frac{\lambda}{2}
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\lambda = 2L \quad\text{e}\quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{L}.
O perfil de deslocamento no tempo estacionário pode ser escrito como
u(x) = A\,\sin(kx) = A\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{L}x\bigr),
com nós de deslocamento onde u(x)=0.

Passo 3

As posições de nós de deslocamento u=0 satisfazem
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{L}x\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x = m\frac{L}{1},\quad m\in\mathbb{Z}.
No intervalo 0\le x\le L só ocorrem em x=0 e x=L. Como a serragem se acumula nos nós de deslocamento, ela se aglutina em
x=0 \quad\text{e}\quad x=L.

Passo 4

A variação de pressão no modo estacionário é
p(x)=B\,\cos(kx)=B\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{L}x\bigr).
Os nós de pressão ( p=0, ou seja, pressão constante no tempo) cumprem
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{L}x\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{L}x=\frac{\pi}{2}+m\pi
e, no intervalo, só
x=\frac{L}{2}.

Resposta

(a) x=0 e x=L
(b) x=\tfrac{L}{2}

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