Questão 1 - Dois sinais \psi_{1}=7 \sin (12 x-24 t) e \psi_{2}=7 \sin (k x-20 t) se propagam governados pela equação diferencial parcial,
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\gamma \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}
onde \gamma e k são constantes, t o tempo e x a posição, todos medidos em unidades do sistema internacional (metro, kilograma e segundo). Nos ítens abaixo, deixe constantes como \pi, 2 \pi, etc, indicadas em função de \pi (não usar nenhum valor numérico aproximado desta constante).
(a) Qual o valor dos comprimentos de onda \lambda_{1} e \lambda_{2}, respectivamente dos sinais \psi_{1} e \psi_{2} ?
(b) Qual o valor das frequências de olcilação \omega_{1} e \omega_{2}(\mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s}), respectivamente dos sinais \psi_{1} e \psi_{2} ?
(c) Qual o valor de \gamma e das velocidades de propagação dos sinais?
(d) Se os dois sinais estão presentes simultaneamente em uma mesma corda esticada, representando o deslocamento transversal da corda, faça um gráfico ilustrando a forma da corda em t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas da forma geral \psi(x,t)=A\sin(kx-\omega t) que se propagam numa corda descrita pela EDP
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=\gamma\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.
Precisamos usar as fórmulas clássicas de ondas:
– comprimento de onda \lambda=2\pi/k,
– frequência angular \omega,
– relação de dispersão \omega^{2}=\gamma k^{2},
– velocidade de fase v=\omega/k=\sqrt{\gamma}.

Passo 2

(a) Para \psi_{1}=7\sin(12x-24t) temos k_{1}=12. Logo
\lambda_{1}=\frac{2\pi}{k_{1}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\\ \text{m}.
Para \psi_{2}=7\sin(kx-20t) temos k_{2}=k. Então
\lambda_{2}=\frac{2\pi}{k_{2}}=\frac{2\pi}{k}\\ \text{m}.

Passo 3

(b) As frequências angulares são os coeficientes de t em cada seno:
\omega_{1}=24\\ \text{rad/s}, \qquad \omega_{2}=20\\ \text{rad/s}.

Passo 4

(c) Da EDP surge \omega^{2}=\gamma k^{2}. Para a primeira onda:
24^{2}=\gamma\,(12)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma=4\\ (\text{m}^2/\text{s}^2).
Para que a segunda satisfaça a mesma \gamma, deve valer
20^{2}=4\,k^{2} \quad\Longrightarrow\quad k^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad k=10\\ \text{rad/m}.
Assim a segunda onda tem \lambda_{2}=2\pi/10=\pi/5 m. As velocidades de fase são
v_{1}=\frac{\omega_{1}}{k_{1}}=\frac{24}{12}=2\\ \text{m/s}, \qquad v_{2}=\frac{\omega_{2}}{k_{2}}=\frac{20}{10}=2\\ \text{m/s},
coerente com v=\sqrt{\gamma}=\sqrt{4}=2\\ \text{m/s}.

Passo 5

(d) Em t=0 o deslocamento total é
y(x,0)=7\sin(12x)+7\sin(10x)=14\sin(11x)\cos(x).
Isto mostra uma oscilação de “alta frequência” 11 rad/m modulada por um envelope \pm14\cos(x).
Gráfico esquemático (eixo vertical y, horizontal x):
\begin{array}{c} \text{Envelope: }\pm14\cos(x) \\[-1ex] \underbrace{\text{––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––}}_{\text{curvas }y=\pm14\cos(x)} \\[1ex] \text{Dentro do envelope oscila rápido } \sin(11x). \end{array}á]

Resposta

(a) \lambda_{1}=\pi/6 m, \lambda_{2}=\pi/5 m.
(b) \omega_{1}=24 rad/s, \omega_{2}=20 rad/s.
(c) \gamma=4 m^{2}/ s^{2}; v_{1}=v_{2}=2 m/s.
(d) y(x,0)=14\sin(11x)\cos(x), uma onda de frequência espacial 11 rad/m modulada pelo envelope \pm14\cos(x).

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