Questão 1) A única força que age sobre um corpo de massa 2.0 kg , enquanto o corpo se move no semicixo positivo de um eixo x, tem componente F_{x}=-2 x N, com x em metros. A velocidade do corpo em x=0 é 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) (1,5) Qual é a velocidade do corpo em x=6,0 \mathrm{~m} ?
b) (1,5) Para que valor positivo de x o corpo tem uma velocidade de 6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Dados e perguntas do enunciado (coloquei cada dado em linha separada para ficar claro):
Massa do corpo: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
Força ao longo do eixo x: \\ F_x = -2x\\ \mathrm{N} (com x em metros).
Velocidade no ponto x=0: v(0)=10\\ \mathrm{m/s}.
O movimento ocorre no semi-eixo positivo ( x\ge0).
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do corpo em x=6{,}0\\ \mathrm{m}?
(b) Para que valor positivo de x o corpo tem velocidade 6{,}0\\ \mathrm{m/s}?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): o Teorema Trabalho-Energia diz que o trabalho total realizado por todas as forças que atuam sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética. Escrevendo isso:
W_{0\to x} = \Delta K = K(x)-K(0),
onde a energia cinética é
K = \tfrac{1}{2} m v^2.
Aqui W_{0\to x} é o trabalho da força \\ F_x ao deslocar o corpo de x=0 até x. Para uma força variável ao longo do eixo x o trabalho é calculado por uma integral:
W_{0\to x}=\int_{0}^{x} F_x(x')\,dx'.
Observação sobre sinais: se F_x for negativa ao longo do deslocamento positivo, o trabalho será negativo e a energia cinética diminuirá.

Passo 3

Calcular o trabalho da força ao ir de x=0 até x=6{,}0\\ \mathrm{m}. Tomamos uma variável de integração \\ x' para não confundir com o limite:
W_{0\to6}=\int_{0}^{6} (-2x')\,dx'.
Integrando passo a passo:
\int (-2x')\,dx' = -2\cdot\frac{{x'}^{2}}{2} = -{x'}^{2}.
Aplicando os limites:
W_{0\to6} = \bigl[-{x'}^{2}\bigr]_{0}^{6} = -(6)^{2} - ( -0^{2}) = -36\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a força é dirigida para o sentido negativo, então faz trabalho negativo e reduz a energia cinética em 36\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia cinética inicial em x=0:
K(0)=\tfrac{1}{2} m v(0)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot (10)^{2}.
Fazendo as contas:
K(0)=1{,}0\cdot 100 = 100\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Trabalho–Energia para obter K(6):
K(6)=K(0)+W_{0\to6}=100 - 36 = 64\\ \mathrm{J}.
Agora relacionamos energia cinética com velocidade:
K(6)=\tfrac{1}{2} m v(6)^{2}.
Substituindo K(6)=64\\ \mathrm{J} e m=2{,}0\\ \mathrm{kg}:
64 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot v(6)^{2} \quad\Rightarrow\quad 64 = 1{,}0\cdot v(6)^{2}.
Logo
v(6)=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{m/s}.
Observação: escolhemos a raiz positiva porque o corpo está no semi-eixo positivo e a velocidade indicada é escalar (módulo).

Passo 6

Para responder (b) é útil obter uma expressão geral para K(x). Calculamos o trabalho de 0 até x como fizemos antes, com variável \\ x':
W_{0\to x}=\int_{0}^{x} (-2x')\,dx' = \bigl[-{x'}^{2}\bigr]_{0}^{x} = -x^{2}.
Portanto
K(x)=K(0)+W_{0\to x}=100 - x^{2}\\ \mathrm{J}.
Agora imponhamos que a velocidade seja v(x)=6{,}0\\ \mathrm{m/s}. A energia cinética correspondente é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot (6{,}0)^{2}.
Calculando:
K = 1{,}0\cdot 36 = 36\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Igualamos a energia cinética exigida à expressão K(x) e resolvemos para x:
36 = 100 - x^{2} \quad\Rightarrow\quad x^{2} = 100 - 36 = 64.
Como buscamos o valor positivo de x,
x = \sqrt{64} = 8{,}0\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(6{,}0\\ \mathrm{m}) = 8\\ \mathrm{m/s}
(b) x = 8{,}0\\ \mathrm{m}

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