Questão 1) A única força que age sobre um corpo de massa 2.0 kg , enquanto o corpo se move no semicixo positivo de um eixo
, tem componente
, com
em metros. A velocidade do corpo em
é
.
a)
Qual é a velocidade do corpo em
?
b)
Para que valor positivo de
o corpo tem uma velocidade de
?
a)
b)
Passo 1
Dados e perguntas do enunciado (coloquei cada dado em linha separada para ficar claro):
Massa do corpo: .
Força ao longo do eixo :
(com
em metros).
Velocidade no ponto :
.
O movimento ocorre no semi-eixo positivo ( ).
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do corpo em ?
(b) Para que valor positivo de o corpo tem velocidade
?
Massa do corpo:
Força ao longo do eixo
Velocidade no ponto
O movimento ocorre no semi-eixo positivo (
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do corpo em
(b) Para que valor positivo de
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): o Teorema Trabalho-Energia diz que o trabalho total realizado por todas as forças que atuam sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética. Escrevendo isso:
onde a energia cinética é
Aqui
é o trabalho da força
ao deslocar o corpo de
até
. Para uma força variável ao longo do eixo
o trabalho é calculado por uma integral:
Observação sobre sinais: se
for negativa ao longo do deslocamento positivo, o trabalho será negativo e a energia cinética diminuirá.
Passo 3
Calcular o trabalho da força ao ir de
até
. Tomamos uma variável de integração
para não confundir com o limite:
Integrando passo a passo:
Aplicando os limites:
Interpretação: a força é dirigida para o sentido negativo, então faz trabalho negativo e reduz a energia cinética em
.
Passo 4
Calcular a energia cinética inicial em
:
Fazendo as contas:
Passo 5
Aplicar o Teorema Trabalho–Energia para obter
:
Agora relacionamos energia cinética com velocidade:
Substituindo
e
:
Logo
Observação: escolhemos a raiz positiva porque o corpo está no semi-eixo positivo e a velocidade indicada é escalar (módulo).
Passo 6
Para responder (b) é útil obter uma expressão geral para
. Calculamos o trabalho de
até
como fizemos antes, com variável
:
Portanto
Agora imponhamos que a velocidade seja
. A energia cinética correspondente é
Calculando:
Passo 7
Igualamos a energia cinética exigida à expressão
e resolvemos para
:
Como buscamos o valor positivo de
,
Resposta
(a)
(b)
(b)