Questão 2) Considere uma partícula de massa m que está sujeita a um potencial unidimensional ao longo do eixo x, U(x)=x^{3}-x. Todas as unidades estão no SI.
(1,5) Sabe-se que uma partícula está em repouso em x=1. Em quais pontos deste movimento
v=0 ?

Passo 1

Temos um potencial unidimensional dado por \;U(x)=x^{3}-x\;. O enunciado diz que a partícula está em repouso em \;x=1\; (ou seja, sua velocidade ali é zero) e pergunta em quais pontos, durante esse movimento, vale \;v=0\;.
Informações relevantes dadas:
\;U(x)=x^{3}-x\;.
A partícula está em repouso em \;x=1\;, isto é \;v(1)=0\;.
O que é pedido:
Determinar os pontos \;x\; nos quais a velocidade da partícula é nula ( \;v=0\;) considerando a situação inicial dada.

Passo 2

Conceito-chave (explicadinho): conservação da energia mecânica.
  • A energia mecânica total \;E\; de uma partícula é a soma da energia cinética \;K\; com a energia potencial \;U\;:
E = K + U.
Aqui \;K\; é a energia cinética, dada por
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde \;m\; é a massa da partícula (dada) e \;v\; é a velocidade instantânea.
  • Quando a partícula está em repouso num ponto, \;v=0\;, então \;K=0\;. Portanto, em qualquer ponto de virada (onde \;v=0\;) vale \;U(x)=E\; (pois E=0+U).
Aplicando isso ao nosso caso: como a partícula está em repouso em \;x=1\;, nela \;K=0\; naquele ponto, logo a energia total é
E = U(1).
Portanto os pontos onde \;v=0\; são exatamente os pontos \;x\; tais que
U(x) = U(1).

Passo 3

Calcular \;U(1)\;.
U(1) = 1^{3} - 1 = 1 - 1 = 0.
Portanto a energia total da partícula é \;E=0\;.

Passo 4

Buscar os pontos \;x\; tais que \;U(x)=0\;. Escrevemos a equação e resolvemos:
x^{3} - x = 0.
Fatorando passo a passo: primeiro colocamos \;x\; em evidência,
x(x^{2}-1)=0.
Agora usamos que \;x^{2}-1\; é diferença de quadrados:
x(x-1)(x+1)=0.
Portanto as soluções são as raízes:
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
Isso significa que, matematicamente, os pontos onde \;v=0\; (isto é, onde \;U(x)=E\;) são \;x=-1,\,0,\,1\;.

Passo 5

Interpretação física (acessibilidade): nem todas essas raízes precisam ser alcançáveis pela partícula com a energia disponível.
  • Para que a partícula possa ocupar uma posição \;x\; com energia total \;E\;, é necessário que \;U(x)\le E\; (pois \;K=\tfrac12 m v^2\ge0\;). Aqui \;E=0\;, então as posições permitidas satisfazem \;U(x)\le0\;, ou seja
x^{3}-x \le 0.
  • Vamos analisar o sinal de x^{3}-x = x(x-1)(x+1). Fazendo um quadro mental dos intervalos:
    • Para x>1 temos U(x)>0.
    • Para 0<x<1 temos U(x)<0.
    • Para -1<x<0 temos U(x)>0.
    • Para x<-1 temos U(x)<0.
    • Em x=-1,0,1 a função vale zero.
Logo a desigualdade U(x)\le0 é satisfeita nos intervalos
(-\infty,-1] \quad\text{e}\quad [0,1].
  • A partícula começa em \;x=1\;. O conjunto conectado que contém x=1 e satisfaz U(x)\le0 é o intervalo [0,1]. Há uma barreira de potencial entre 0 e -1 (onde U>0), então a partícula com energia E=0 não consegue atravessar para a região x<-1.
Conclusão física: embora matematicamente haja três pontos com \;U(x)=E\;, a partícula que começa em \;x=1\; (com energia 0) só pode atingir os pontos do mesmo conjunto conectado [0,1]. Assim, os pontos de virada (onde \;v=0\;) efetivamente alcançados por essa partícula são \;x=1\; e \;x=0\;.
Força aí — você já tem a resposta e a razão física por trás!

Resposta

Matematicamente: \,x=-1,\;x=0,\;x=1.
Fisicamente, acessíveis a partir de \,x=1: \,x=0 e \,x=1.

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