Questão 2) Considere uma partícula de massa
que está sujeita a um potencial unidimensional ao longo do eixo
. Todas as unidades estão no SI.
Sabe-se que uma partícula está em repouso em
. Em quais pontos deste movimento
Passo 1
Temos um potencial unidimensional dado por
. O enunciado diz que a partícula está em repouso em
(ou seja, sua velocidade ali é zero) e pergunta em quais pontos, durante esse movimento, vale
.
Informações relevantes dadas:
.
A partícula está em repouso em , isto é
.
A partícula está em repouso em
O que é pedido:
Determinar os pontos nos quais a velocidade da partícula é nula (
) considerando a situação inicial dada.
Determinar os pontos
Passo 2
Conceito-chave (explicadinho): conservação da energia mecânica.
- A energia mecânica total
de uma partícula é a soma da energia cinética com a energia potencial :
Aqui
é a energia cinética, dada por
onde
é a massa da partícula (dada) e
é a velocidade instantânea.
- Quando a partícula está em repouso num ponto,
, então . Portanto, em qualquer ponto de virada (onde ) vale (pois ).
Aplicando isso ao nosso caso: como a partícula está em repouso em
, nela
naquele ponto, logo a energia total é
Portanto os pontos onde
são exatamente os pontos
tais que
Passo 3
Calcular
.
Portanto a energia total da partícula é
.
Passo 4
Buscar os pontos
tais que
. Escrevemos a equação e resolvemos:
Fatorando passo a passo: primeiro colocamos
em evidência,
Agora usamos que
é diferença de quadrados:
Portanto as soluções são as raízes:
Isso significa que, matematicamente, os pontos onde
(isto é, onde
) são
.
Passo 5
Interpretação física (acessibilidade): nem todas essas raízes precisam ser alcançáveis pela partícula com a energia disponível.
- Para que a partícula possa ocupar uma posição
com energia total , é necessário que (pois ). Aqui , então as posições permitidas satisfazem , ou seja
- Vamos analisar o sinal de
. Fazendo um quadro mental dos intervalos: - Para
temos . - Para
temos . - Para
temos . - Para
temos . - Em
a função vale zero.
- Para
Logo a desigualdade
é satisfeita nos intervalos
- A partícula começa em
. O conjunto conectado que contém e satisfaz é o intervalo . Há uma barreira de potencial entre e (onde ), então a partícula com energia não consegue atravessar para a região .
Conclusão física: embora matematicamente haja três pontos com
, a partícula que começa em
(com energia
) só pode atingir os pontos do mesmo conjunto conectado
. Assim, os pontos de virada (onde
) efetivamente alcançados por essa partícula são
e
.
Força aí — você já tem a resposta e a razão física por trás!
Resposta
Matematicamente:
.
Fisicamente, acessíveis a partir de
:
e
.