Questão
Uma única força atua sobre um objeto de 4 kg que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por
em metros e t em segundos.
a)
Determine o trabalho realizado sobre objeto de
a
.
b)
Se o objeto se desloca em um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético
, determine o trabalho da força de atrito no mesmo intervalo de tempo do item a).
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo exatamente como apareceu no enunciado).
-
Dados do enunciado:
- A posição do objeto em função do tempo é
com em metros e em segundos. - A massa do objeto é
. - Intervalo de tempo considerado: de
até . - No item (b) aparece um coeficiente de atrito cinético
e o movimento é num plano horizontal.
- A posição do objeto em função do tempo é
-
O que o enunciado pede:
- (a) Determine o trabalho realizado sobre o objeto de
a (aqui foi dito que uma única força atua sobre o objeto). - (b) Se o objeto se desloca sobre um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético
, determine o trabalho da força de atrito no mesmo intervalo de tempo.
- (a) Determine o trabalho realizado sobre o objeto de
Passo 2
Primeiro precisamos da velocidade para usar o teorema energia-trabalho ou para obter aceleração se quisermos outra via. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Regra que vamos usar: a derivada de
é
.
- Calcular
.
- Avaliar nos instantes pedidos:
Comentário curto e amigável: já temos as velocidades inicial e final — isso é ótimo porque o teorema energia-trabalho usa exatamente essas quantidades.
Passo 3
Vou explicar o teorema energia-trabalho (essa é a ferramenta mais direta aqui).
- Enunciado do teorema energia-trabalho: o trabalho total realizado pela força resultante sobre uma partícula ao longo de um movimento é igual à variação da energia cinética da partícula.
- Em fórmulas:
. - Aqui
é o trabalho total efetuado pela força resultante; é a massa; e são as velocidades inicial e final.
- Aqui
No item (a) o enunciado diz que “uma única força atua”. Isso significa que essa única força é a força resultante, então o trabalho dessa força é o trabalho resultante
. Logo podemos aplicar diretamente a fórmula acima.
- Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
Interpretação informal: a velocidade passou de
para
; a energia cinética aumentou e esse aumento (
) é exatamente o trabalho feito pela força resultante.
Passo 4
Para reforçar o entendimento, mostro rapidamente a mesma resposta por integração direta de força ao longo do deslocamento (mesma ideia, só outro caminho). Isso ajuda a saber como proceder se pedirem o caminho integral na prova.
- Primeiro obtenha a aceleração:
- Força resultante (pela segunda lei de Newton):
(em newtons). - Trabalho pelo caminho integral:
Troca de variável útil:
. Então
Porque
. Assim
que é exatamente o teorema energia-trabalho usado antes. Bom para lembrar na prova: integrar
muitas vezes se reduz a integrar em
.
Passo 5
Agora o item (b): trabalho da força de atrito cinético no mesmo intervalo
.
Explicação física do atrito cinético em plano horizontal:
- A força de atrito cinético tem módulo
, onde é a normal. - Em superfície horizontal, sem outras forças verticais além do peso e da normal,
. - Logo
. A direção do atrito é contrária ao movimento, portanto o trabalho do atrito sobre um deslocamento positivo é negativo e vale se o módulo for constante.
Passos numéricos:
- Calcular deslocamento no intervalo:
Portanto o deslocamento escalar (no sentido do movimento) é
.
- Calcular
:
- Trabalho da força de atrito (negativo, porque se opõe ao deslocamento):
Comentário amigável: o atrito remove energia do sistema — por isso o trabalho é negativo. Se na situação do item (b) existisse ainda uma força aplicada que mantivesse a mesma variação de velocidade que no item (a), aquela força aplicada teria de fornecer não só os
de aumento de energia cinética, como também recompor a energia perdida por atrito; mas aqui o pedido era só o trabalho do atrito, que encontramos.