Questão 2(3,5)

Uma única força atua sobre um objeto de 4 kg que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por \mathrm{x}=\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}^{3} \mathrm{com} \mathrm{x} em metros e t em segundos.
a) (2,0) Determine o trabalho realizado sobre objeto de \mathrm{t}=0 a \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}.
b) (1,5) Se o objeto se desloca em um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético \mu_{\mathrm{k}}=0,2, determine o trabalho da força de atrito no mesmo intervalo de tempo do item a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo exatamente como apareceu no enunciado).
  • Dados do enunciado:
    • A posição do objeto em função do tempo é \,x(t)=t+t^{2}+t^{3}\, com x em metros e t em segundos.
    • A massa do objeto é \,m=4\\ \mathrm{kg}.
    • Intervalo de tempo considerado: de t=0 até t=1\\ \mathrm{s}.
    • No item (b) aparece um coeficiente de atrito cinético \,\mu_{k}=0,2\, e o movimento é num plano horizontal.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determine o trabalho realizado sobre o objeto de t=0 a t=1\\ \mathrm{s} (aqui foi dito que uma única força atua sobre o objeto).
    • (b) Se o objeto se desloca sobre um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético \mu_{k}=0,2, determine o trabalho da força de atrito no mesmo intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade para usar o teorema energia-trabalho ou para obter aceleração se quisermos outra via. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Regra que vamos usar: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
  • Calcular v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t+t^{2}+t^{3}\bigr)=1+2t+3t^{2}.
  • Avaliar nos instantes pedidos:
v(0)=1+2\cdot0+3\cdot0^{2}=1\\ \mathrm{m/s},
v(1)=1+2\cdot1+3\cdot1^{2}=1+2+3=6\\ \mathrm{m/s}.
Comentário curto e amigável: já temos as velocidades inicial e final — isso é ótimo porque o teorema energia-trabalho usa exatamente essas quantidades.

Passo 3

Vou explicar o teorema energia-trabalho (essa é a ferramenta mais direta aqui).
  • Enunciado do teorema energia-trabalho: o trabalho total realizado pela força resultante sobre uma partícula ao longo de um movimento é igual à variação da energia cinética da partícula.
  • Em fórmulas: \,W_{\text{net}}=\Delta K=\tfrac{1}{2}m\bigl(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\bigr)\,.
    • Aqui \,W_{\text{net}}\, é o trabalho total efetuado pela força resultante; \,m\, é a massa; \,v_{i}\, e \,v_{f}\, são as velocidades inicial e final.
No item (a) o enunciado diz que “uma única força atua”. Isso significa que essa única força é a força resultante, então o trabalho dessa força é o trabalho resultante W_{\text{net}}. Logo podemos aplicar diretamente a fórmula acima.
  • Substituindo valores:
W=\tfrac{1}{2}m\bigl(v(1)^{2}-v(0)^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot4\bigl(6^{2}-1^{2}\bigr).
Calcule passo a passo:
6^{2}=36,\qquad 1^{2}=1,\qquad 36-1=35.
W=\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot35=2\cdot35=70\\ \mathrm{J}.
Interpretação informal: a velocidade passou de 1 para 6\\ \mathrm{m/s}; a energia cinética aumentou e esse aumento ( 70\\ \mathrm{J}) é exatamente o trabalho feito pela força resultante.

Passo 4

Para reforçar o entendimento, mostro rapidamente a mesma resposta por integração direta de força ao longo do deslocamento (mesma ideia, só outro caminho). Isso ajuda a saber como proceder se pedirem o caminho integral na prova.
  • Primeiro obtenha a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1+2t+3t^{2}\bigr)=2+6t.
  • Força resultante (pela segunda lei de Newton): \,F(t)=m\,a(t)=4(2+6t)=8+24t (em newtons).
  • Trabalho pelo caminho integral:
W=\int_{x(0)}^{x(1)} F\,dx.
Troca de variável útil: dx=v\,dt. Então
W=\int_{0}^{1} F(t)\,v(t)\,dt = \int_{0}^{1} m\,a(t)\,v(t)\,dt = m\int_{0}^{1} v(t)\,dv(t).
Porque a(t)\,v(t)\,dt = \frac{dv}{dt}v\,dt = v\,dv. Assim
W=m\int_{v(0)}^{v(1)} v\,dv = m\left[\tfrac{1}{2}v^{2}\right]_{v(0)}^{v(1)}=\tfrac{1}{2}m\bigl(v(1)^{2}-v(0)^{2}\bigr),
que é exatamente o teorema energia-trabalho usado antes. Bom para lembrar na prova: integrar F\,dx muitas vezes se reduz a integrar em v.

Passo 5

Agora o item (b): trabalho da força de atrito cinético no mesmo intervalo t\in[0,1].
Explicação física do atrito cinético em plano horizontal:
  • A força de atrito cinético tem módulo \,f_{k}=\mu_{k}N\,, onde N é a normal.
  • Em superfície horizontal, sem outras forças verticais além do peso e da normal, N=mg.
  • Logo \,f_{k}=\mu_{k} m g\,. A direção do atrito é contrária ao movimento, portanto o trabalho do atrito sobre um deslocamento positivo s é negativo e vale \,W_{k}=-f_{k}\,s\, se o módulo f_{k} for constante.
Passos numéricos:
  • Calcular deslocamento no intervalo:
x(0)=0+0+0=0,
x(1)=1+1+1=3\\ \mathrm{m}.
Portanto o deslocamento escalar (no sentido do movimento) é \,s=x(1)-x(0)=3\\ \mathrm{m}.
  • Calcular f_{k}:
f_{k}=\mu_{k} m g = 0,2\cdot4\cdot9,8=0,2\cdot39,2=7,84\\ \mathrm{N}.
  • Trabalho da força de atrito (negativo, porque se opõe ao deslocamento):
W_{\text{atrito}}=-f_{k}\,s=-7,84\cdot3=-23,52\\ \mathrm{J}.
Comentário amigável: o atrito remove energia do sistema — por isso o trabalho é negativo. Se na situação do item (b) existisse ainda uma força aplicada que mantivesse a mesma variação de velocidade que no item (a), aquela força aplicada teria de fornecer não só os 70\\ \mathrm{J} de aumento de energia cinética, como também recompor a energia perdida por atrito; mas aqui o pedido era só o trabalho do atrito, que encontramos.

Resposta

\,70\\ \mathrm{J}\,
-23,52\\ \mathrm{J}

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