Um bloco é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal vale 60^{\circ}. Dados \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} /\mathrm{s}^{2}, \cos 60^{\circ}=0,5, sen 60^{\circ}=\sqrt{ } 3 / 2, \sqrt{ } 3=1,73. Determine:
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado no repouso.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: o bloco desce com aceleração \,a=6\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • Dado: o plano faz ângulo \theta=60^\circ com a horizontal.
  • Constantes fornecidas:
    • \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,,
    • \cos 60^\circ=0{,}5,
    • \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
    • \sqrt{3}=1{,}73.
  • Pedido: determinar o coeficiente de atrito estático \,\mu_s\, tal que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado do repouso (isto é, condição de “limite” em que a força estática máxima é exatamente a necessária para iniciar o movimento).

Passo 2

Entendendo as forças atuantes (diagrama de corpo livre mental):
  • Peso: \,P = mg\, (vertical para baixo).
  • Decompondo o peso em componentes com respeito ao plano inclinado:
    • Componente paralela ao plano (tende a fazer o bloco descer): \,mg\sin\theta\,.
    • Componente perpendicular ao plano (gera a normal): \,mg\cos\theta\,.
  • Força normal: \,N = mg\cos\theta\, (para fora do plano).
  • Atrito estático máximo: \,f_{s,\max}=\mu_s N=\mu_s m g\cos\theta\,.
    Observação: o atrito estático ajusta-se até esse máximo para impedir o movimento; quando o corpo está “prestes a se mover”, temos igualdade entre a componente que tende a mover e o atrito máximo.

Passo 3

Condição de “prestes a se mover” para descida:
  • O bloco tende a mover-se para baixo, portanto no limite de movimento a força que puxa para baixo ( mg\sin\theta) é igual ao atrito estático máximo ( \mu_s m g\cos\theta).
  • Escrever a igualdade e isolar \mu_s:
mg\sin\theta=\mu_s\,m g\cos\theta
\Rightarrow \mu_s=\frac{mg\sin\theta}{mg\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta
  • Portanto, em termos gerais, para ficar “prestes a se mover” ao ser abandonado: \,\mu_s=\tan\theta\,.

Passo 4

Calcular numericamente usando \theta=60^\circ:
  • Sabendo que \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e usando os valores dados,
\mu_s=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.
  • Substituindo a aproximação fornecida \sqrt{3}=1{,}73,
\mu_s\approx 1{,}73.

Passo 5

Comentário pedagógico (útil para a prova): o enunciado deu também a aceleração \,a=6\\ \mathrm{m/s^{2}}\, quando o bloco está deslizando — isso permite calcular o coeficiente de atrito cinético \mu_k usando a segunda lei no eixo do plano:
mg\sin\theta-\mu_k mg\cos\theta = m a
\Rightarrow \mu_k=\frac{g\sin\theta-a}{g\cos\theta}.
Substituindo os números (com \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos60^\circ=0{,}5, g=10):
g\sin\theta=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 5\cdot1{,}73=8{,}65
\mu_k=\frac{8{,}65-6}{5}= \frac{2{,}65}{5}=0{,}53.
Isso é apenas um comentário de comparação: normalmente verifica-se que \mu_s\ge\mu_k; aqui \mu_s\approx1{,}73 e \mu_k\approx0{,}53, ou seja, consistente (o atrito estático limite é maior que o cinético).

Passo 6

Resumo final curto: a condição de limite para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado é \mu_s=\tan\theta. Para \theta=60^\circ e usando as aproximações dadas, obtemos o valor numérico indicado abaixo.

Resposta

\mu_s=\sqrt{3}\approx1{,}73

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