Questão 4. Usando coordenadas esféricas, calcule as seguintes integrais:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\right) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\right)\, dz\, dx\, dy.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é x^{2}z + y^{2}z + z^{3}.
  • As integrais em x e y mostram que (x,y) percorre o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1 (pois y\in[-1,1] e x\in[-\sqrt{1-y^{2}},\sqrt{1-y^{2}}]).
  • Os limites em z aparecem escritos de forma inconsistente (um deles tem 1-x^{2}+y^{2} e o outro 1-x^{2}-y^{2}). Vou assumir a forma natural e coerente para o problema: z varia entre
z\in\left[-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},\\ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right],
ou seja, a região de integração é a bola de raio 1 centrada na origem ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1). Vou usar essa interpretação para resolver a integral.

Passo 2

Simplifico a integranda fatorando z:
x^{2}z + y^{2}z + z^{3} = z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}).
É útil notar que x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da distância ao origem; em coordenadas esféricas isso fica bem simples. Vou explorar essa estrutura.

Passo 3

Apresento as coordenadas esféricas (convenção usual) e o jacobiano:
  • Definições: x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi] (ângulo com o eixo z) e \theta\in[0,2\pi) (ângulo no plano xy).
  • O elemento de volume (jacobiano) é dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicação rápida do jacobiano: vem da transformação das coordenadas e representa como pequenos volumes em (\rho,\varphi,\theta) se relacionam com dx\,dy\,dz; o fator \rho^{2}\sin\varphi aparece ao multiplicar os comprimentos nas três direções.

Passo 4

Transformo a integranda para esféricas.
  • Primeiro, x^{2}+y^{2}+z^{2} = \rho^{2}.
  • Também z = \rho\cos\varphi.
    Logo
x^{2}z + y^{2}z + z^{3} = z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}) = (\rho\cos\varphi)\,\rho^{2} = \rho^{3}\cos\varphi.
Multiplicando pelo jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta, a função a integrar no espaço (\rho,\varphi,\theta) fica
\rho^{3}\cos\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi = \rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi.
A região é a bola unitária, portanto os limites são \rho\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].

Passo 5

Escrevo a integral em coordenadas esféricas:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Note que a integral se separa em produto de integrais porque o integrando é produto de funções que dependem de variáveis distintas (parte em \rho, parte em \varphi, parte em \theta).

Passo 6

Calculo a integral em \rho:
\int_{0}^{1} \rho^{5}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{6}}{6}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{6}.

Passo 7

Calculo a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Calculo a integral em \varphi:
faço a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\, d\varphi. Os limites: \varphi=0\Rightarrow u=0, \varphi=\pi\Rightarrow u=0. Assim
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \int_{u=0}^{u=0} u\, du = 0.
Outra forma de ver isso, mais intuitiva: \cos\varphi\sin\varphi é uma função cujo primitiva é \tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi, e avaliando em 0 e \pi dá zero. Também é consistente com a simetria: a parte angular integrada se anula.

Passo 9

Combino os fatores obtidos:
\left(\int_{0}^{1}\rho^{5}d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right) = \frac{1}{6}\cdot 0 \cdot 2\pi = 0.
Intuição final: a integranda original é z vezes uma função radial ( x^{2}+y^{2}+z^{2}), ou seja, é ímpar em z. Como a região de integração (a bola de raio 1) é simétrica em relação ao plano z=0, a contribuição positiva de z>0 cancela exatamente a contribuição negativa de z<0, resultando em integral nula.

Resposta

0

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