Questão 4. Usando coordenadas esféricas, calcule as seguintes integrais:
O volume do toro sólido T=\left\{(x, y, z) \mid\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4 R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} onde R>r.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o volume do toro sólido T que é o corpo delimitado pela superfície
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),
onde R>r. Não foi enviada outra figura, então assumimos que T é a região sólida do espaço limitada por essa superfície (o toro anelar clássico). Informações dadas: os parâmetros R e r são constantes positivas com R>r. A resposta pedida é o volume de T.

Passo 2

Troca para coordenadas esféricas e motivo: em coordenadas esféricas cada ponto é dado por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi). O elemento de volume vale
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Vou usar isso porque a superfície do toro pode ser escrita em termos de \rho e \varphi de forma que, para cada direção (\varphi,\theta), os limites radiais \rho ficam explícitos — daí a integração tripla se torna direta.

Passo 3

Escrever a equação do toro em esféricas. Primeiro substituímos x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi. A equação torna-se
\left(\rho^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
Tomando raiz quadrada (lembre que obtemos duas possibilidades com sinal ±), obtemos as duas equações
\rho^{2}+R^{2}-r^{2}= \pm 2R\rho\sin\varphi.
Cada escolha de sinal dá uma quadrática em \rho que determina possíveis valores de \rho onde a reta radial na direção (\varphi,\theta) corta a superfície.

Passo 4

Resolver para \rho e achar os limites radiais. Reescrevendo as duas quadráticas temos
\rho^{2}-2R\sin\varphi\,\rho+(R^{2}-r^{2})=0
e
\rho^{2}+2R\sin\varphi\,\rho+(R^{2}-r^{2})=0.
As soluções (raízes) podem ser escritas de forma compacta. Defina
s(\varphi)=\sqrt{\,r^{2}-R^{2}\cos^{2}\varphi\,}.
(Aparece ao calcular o discriminante; vou mostrar a condição de existência.) As raízes relevantes (positivas) são
\rho_{\pm}(\varphi)=R\sin\varphi\pm s(\varphi).
Explicação da validade: o discriminante das quadráticas é 4(r^{2}-R^{2}\cos^{2}\varphi), portanto precisamos de
r^{2}-R^{2}\cos^{2}\varphi\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos^{2}\varphi\le\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Isso determina o intervalo de \varphi onde a reta radial corta o toro: escrevendo \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr), temos
\varphi\in\bigl[\phi_{0},\pi-\phi_{0}\bigr].
Além disso é importante verificar que \rho_{-}(\varphi)=R\sin\varphi-s(\varphi)\ge0. Ao comparar quadrados vê-se que R^{2}\sin^{2}\varphi\ge s(\varphi)^{2} implicaria R^{2}\le r^{2}, o que é falso (pois R>r); dessa consideração (veja cálculo no passo anterior) conclui-se que, para as \varphi no intervalo indicado, sempre R\sin\varphi\ge s(\varphi), logo \rho_{-}\ge0. Portanto, para cada \varphi\in[\phi_{0},\pi-\phi_{0}] a região radial dentro do toró é o intervalo \rho\in[\rho_{-}(\varphi),\rho_{+}(\varphi)].

Passo 5

Montar a integral do volume em coordenadas esféricas. Pela simetria em \theta e pelos limites em \varphi e \rho,
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\phi_{0}}^{\pi-\phi_{0}}\int_{\rho=\rho_{-}(\varphi)}^{\rho_{+}(\varphi)} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Como a integranda não depende de \theta, a integral em \theta dá fator 2\pi. Calculamos primeiro a integral em \rho:
\int_{\rho_{-}}^{\rho_{+}}\rho^{2}\,d\rho=\frac{1}{3}\bigl(\rho_{+}^{3}-\rho_{-}^{3}\bigr).
Com \rho_{\pm}=A\pm s onde A=R\sin\varphi e s=s(\varphi), usamos a identidade
(A+s)^{3}-(A-s)^{3}=2s\bigl(3A^{2}+s^{2}\bigr).
Logo
\frac{1}{3}\bigl(\rho_{+}^{3}-\rho_{-}^{3}\bigr)=\frac{2}{3}\,s\bigl(3A^{2}+s^{2}\bigr).
Substituindo A e s^{2}=r^{2}-R^{2}\cos^{2}\varphi, obtemos que o integrando (após integrar em \rho e multiplicar por \sin\varphi) vale
\sin\varphi\cdot\frac{2}{3}\,s\bigl(3R^{2}\sin^{2}\varphi+s^{2}\bigr).
Portanto
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}\int_{\phi_{0}}^{\pi-\phi_{0}} \sin\varphi\; s(\varphi)\bigl(3R^{2}\sin^{2}\varphi+s(\varphi)^{2}\bigr)\,d\varphi.

Passo 6

Trocar variável para u=\cos\varphi para simplificar. Temos du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi vai de \phi_{0} até \pi-\phi_{0}, u vai de \tfrac{r}{R} até -\tfrac{r}{R}. Aplicando isso:
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}\int_{u=r/R}^{-r/R} -s(u)\bigl(3R^{2}(1-u^{2})+s(u)^{2}\bigr)\,du.
Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo:
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}\int_{u=-r/R}^{r/R} s(u)\bigl(3R^{2}(1-u^{2})+s(u)^{2}\bigr)\,du,
onde s(u)=\sqrt{r^{2}-R^{2}u^{2}}. A integranda é função par de u, então podemos integrar de 0 a r/R e multiplicar por 2:
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot 2\int_{0}^{r/R} s(u)\bigl(3R^{2}(1-u^{2})+s(u)^{2}\bigr)\,du.

Passo 7

Fazer mudança w=R u para limpar fatores. Então u=w/R, du=dw/R, e quando u vai de 0 a r/R, w vai de 0 a r. Note que s(u)=\sqrt{r^{2}-w^{2}}. A integral passada torna-se
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot 2\cdot\frac{1}{R}\int_{0}^{r} \sqrt{r^{2}-w^{2}}\;\bigl(3R^{2}\bigl(1-\tfrac{w^{2}}{R^{2}}\bigr)+(r^{2}-w^{2})\bigr)\,dw.
Simplificando a expressão entre parênteses:
3R^{2}\Bigl(1-\tfrac{w^{2}}{R^{2}}\Bigr)+(r^{2}-w^{2})=r^{2}+3R^{2}-4w^{2}.
Logo
V=\frac{8\pi}{3R}\int_{0}^{r} \bigl(r^{2}+3R^{2}-4w^{2}\bigr)\sqrt{r^{2}-w^{2}}\,dw.

Passo 8

Separar a integral linearmente e usar integrais padrão de semicircunferência:
\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-w^{2}}\,dw=\frac{\pi r^{2}}{4},
porque é a área do quarto de círculo multiplicada por 1 (padrão conhecido). E
\int_{0}^{r} w^{2}\sqrt{r^{2}-w^{2}}\,dw
pode ser calculada por substituição trigonométrica w=r\sin t. Fazendo isso obtemos (detalhe do cálculo: com w=r\sin t a integral vira r^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt e \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt=\pi/16), portanto
\int_{0}^{r} w^{2}\sqrt{r^{2}-w^{2}}\,dw=\frac{\pi r^{4}}{16}.
Agora aplicamos na expressão separada:
\int_{0}^{r} \bigl(r^{2}+3R^{2}-4w^{2}\bigr)\sqrt{r^{2}-w^{2}}\,dw =(r^{2}+3R^{2})\frac{\pi r^{2}}{4}-4\cdot\frac{\pi r^{4}}{16}.
Simplificando:
= \frac{\pi}{4}\bigl(r^{2}(r^{2}+3R^{2})-r^{4}\bigr)=\frac{\pi}{4}\cdot 3R^{2}r^{2}.

Passo 9

Substituir esse resultado em V. Tínhamos
V=\frac{8\pi}{3R}\times \frac{\pi}{4}\cdot 3R^{2}r^{2}.
Agora simplificamos constantes passo a passo: o fator \frac{8\pi}{3R}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 3R^{2}r^{2} reduz a
V=2\pi^{2}Rr^{2}.
(Realizei a simplificação cancelando 3 e reduzindo 8/4 e R com R^{2}.)

Resposta

V=2\pi^{2}Rr^{2}

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