Questão 4. Usando coordenadas esféricas, calcule as seguintes integrais:
O volume do toro sólido
onde
.
O volume do toro sólido
Passo 1
O que o problema pede: calcular o volume do toro sólido
que é o corpo delimitado pela superfície
onde
. Não foi enviada outra figura, então assumimos que
é a região sólida do espaço limitada por essa superfície (o toro anelar clássico). Informações dadas: os parâmetros
e
são constantes positivas com
. A resposta pedida é o volume de
.
Passo 2
Troca para coordenadas esféricas e motivo: em coordenadas esféricas cada ponto é dado por
com
,
e
. O elemento de volume vale
Vou usar isso porque a superfície do toro pode ser escrita em termos de
e
de forma que, para cada direção
, os limites radiais
ficam explícitos — daí a integração tripla se torna direta.
Passo 3
Escrever a equação do toro em esféricas. Primeiro substituímos
e
. A equação torna-se
Tomando raiz quadrada (lembre que obtemos duas possibilidades com sinal ±), obtemos as duas equações
Cada escolha de sinal dá uma quadrática em
que determina possíveis valores de
onde a reta radial na direção
corta a superfície.
Passo 4
Resolver para
e achar os limites radiais. Reescrevendo as duas quadráticas temos
e
As soluções (raízes) podem ser escritas de forma compacta. Defina
(Aparece ao calcular o discriminante; vou mostrar a condição de existência.) As raízes relevantes (positivas) são
Explicação da validade: o discriminante das quadráticas é
, portanto precisamos de
Isso determina o intervalo de
onde a reta radial corta o toro: escrevendo
, temos
Além disso é importante verificar que
. Ao comparar quadrados vê-se que
implicaria
, o que é falso (pois
); dessa consideração (veja cálculo no passo anterior) conclui-se que, para as
no intervalo indicado, sempre
, logo
. Portanto, para cada
a região radial dentro do toró é o intervalo
.
Passo 5
Montar a integral do volume em coordenadas esféricas. Pela simetria em
e pelos limites em
e
,
Como a integranda não depende de
, a integral em
dá fator
. Calculamos primeiro a integral em
:
Com
onde
e
, usamos a identidade
Logo
Substituindo
e
, obtemos que o integrando (após integrar em
e multiplicar por
) vale
Portanto
Passo 6
Trocar variável para
para simplificar. Temos
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
. Aplicando isso:
Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo:
onde
. A integranda é função par de
, então podemos integrar de
a
e multiplicar por 2:
Passo 7
Fazer mudança
para limpar fatores. Então
,
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Note que
. A integral passada torna-se
Simplificando a expressão entre parênteses:
Logo
Passo 8
Separar a integral linearmente e usar integrais padrão de semicircunferência:
porque é a área do quarto de círculo multiplicada por 1 (padrão conhecido). E
pode ser calculada por substituição trigonométrica
. Fazendo isso obtemos (detalhe do cálculo: com
a integral vira
e
), portanto
Agora aplicamos na expressão separada:
Simplificando:
Passo 9
Substituir esse resultado em
. Tínhamos
Agora simplificamos constantes passo a passo: o fator
reduz a
(Realizei a simplificação cancelando
e reduzindo
e
com
.)