Questão 2. Calcule as integrais triplas:
onde
é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e pelo plano
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é o sólido “limitado” pelo cilindro
e pelos planos
,
e
no primeiro octante. Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que é pedido:
- Pedido: calcular
. - Informações dadas:
- A superfície lateral é o cilindro de equação
(cilindro com raio e eixo paralelo ao eixo ). - Existem planos verticais que cortam o cilindro:
e . - Há o plano inferior
. - Está restrito ao primeiro octante, ou seja
, , .
- A superfície lateral é o cilindro de equação
- Observação importante (aqui não resolvo nada ainda): com as informações acima devo verificar se temos um sólido fechado (com todas as faces necessárias) ou se falta alguma superfície que limite a região para cima (um teto). Se faltar essa informação, a região pode ser ilimitada em
.
Passo 2
Vou examinar a forma geométrica de
com as informações dadas, passo a passo e de forma didática.
- O cilindro dado por
é um cilindro vertical de raio . A expressão “limitado pelo cilindro” normalmente indica que, na direção radial, temos (ou seja em coordenadas cilíndricas), mas esse cilindro, por si só, não impõe nenhum limite em : ele é infinito nas direções positivas e negativas do eixo se não houver outra superfície que limite . - Os planos
e são planos verticais que, sobre a projeção no plano , delimitam um setor angular. No primeiro octante temos e ; a reta passa pela origem e define um ângulo com o eixo . Em coordenadas polares/cilíndricas ( , ): -
corresponde a . -
implica , ou seja . - Assim, o setor angular no plano
é . - Radialmente, se estamos dentro do cilindro, teremos
.
-
- O plano
dá o limite inferior (chão) do sólido: . - Agora a questão-chave: qual é o limite superior para
? O enunciado não fornece nenhum plano ou superfície que limite por cima (nenhum “teto” como ou ). Portanto, com as informações dadas, para cada ponto dentro do setor e dentro do disco de raio , varia de até o infinito. Em outras palavras, a região descrita com essas superfícies é ilimitada (ilimitada para positivo), e assim é um sólido não compacto na direção .
Passo 3
Explico por que isso impede obter um valor finito para a integral. Vou passar ao cálculo formal em coordenadas cilíndricas para deixar claro o que acontece.
- Em coordenadas cilíndricas usamos
, , e o elemento de volume é . Esta é uma fórmula fundamental: o fator aparece porque a transformação de coordenadas “expande” as áreas radiais. - Com os limites que identificámos (se não houver teto para
), a integral fica Reorganizando os integrandos: - A integral interna
é bem conhecida: é divergente (tende para infinito). De fato, Como essa integral diverge, todo o produto e as integrais exteriores não podem produzir um número finito: a integral tripla diverge. - Conclusão técnica: sem um limite superior para
, . Em linguagem prática: a integral não converge — o volume do sólido é infinito na direção e a função cresce então dá integral infinita.
Passo 4
Para te ajudar a saber como proceder caso o enunciado tivesse incluído um teto (o que é muito comum em exercícios), mostro rapidamente o método que usaríamos se houvesse um plano superior
(constante) ou
:
- Se existisse
limitado por (constante), a integral seria Calcularíamos a integral interna: então E continuaríamos integrando e , obtendo um valor finito explicitamente. - Se o teto fosse
, faríamos a integral e seguiríamos integrando em com o fator .
Isso é para você ver o procedimento padrão (usar coordenadas cilíndricas, integrar primeiro em
, depois em
e
) caso o enunciado incluísse o limite superior de
.
Resposta
A integral diverge:
, pois o conjunto
não tem limite superior em
com as informações dadas.