Questão 2. Calcule as integrais triplas:
\iiint_{D} z d V onde D é limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos x=0, y=3 x e pelo plano z=0 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{D} z\,dV
onde D é o sólido “limitado” pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos x=0, y=3x e z=0 no primeiro octante. Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que é pedido:
  • Pedido: calcular \displaystyle \iiint_{D} z\,dV.
  • Informações dadas:
    • A superfície lateral é o cilindro de equação \,x^{2}+y^{2}=9\, (cilindro com raio 3 e eixo paralelo ao eixo z).
    • Existem planos verticais que cortam o cilindro: x=0 e y=3x.
    • Há o plano inferior z=0.
    • Está restrito ao primeiro octante, ou seja x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Observação importante (aqui não resolvo nada ainda): com as informações acima devo verificar se temos um sólido fechado (com todas as faces necessárias) ou se falta alguma superfície que limite a região para cima (um teto). Se faltar essa informação, a região pode ser ilimitada em z.

Passo 2

Vou examinar a forma geométrica de D com as informações dadas, passo a passo e de forma didática.
  • O cilindro dado por \,x^{2}+y^{2}=9\, é um cilindro vertical de raio 3. A expressão “limitado pelo cilindro” normalmente indica que, na direção radial, temos \,x^{2}+y^{2}\le 9 (ou seja r\le 3 em coordenadas cilíndricas), mas esse cilindro, por si só, não impõe nenhum limite em z: ele é infinito nas direções positivas e negativas do eixo z se não houver outra superfície que limite z.
  • Os planos x=0 e y=3x são planos verticais que, sobre a projeção no plano xy, delimitam um setor angular. No primeiro octante temos x\ge 0 e y\ge 0; a reta y=3x passa pela origem e define um ângulo com o eixo x. Em coordenadas polares/cilíndricas ( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta):
    • x=0 corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2}.
    • y=3x implica \tan\theta=3, ou seja \theta=\arctan(3).
    • Assim, o setor angular no plano xy é \theta\in\bigl[\arctan(3),\tfrac{\pi}{2}\bigr].
    • Radialmente, se estamos dentro do cilindro, teremos r\in[0,3].
  • O plano z=0 dá o limite inferior (chão) do sólido: z\ge 0.
  • Agora a questão-chave: qual é o limite superior para z? O enunciado não fornece nenhum plano ou superfície que limite z por cima (nenhum “teto” como z=H ou z=f(x,y)). Portanto, com as informações dadas, para cada ponto (x,y) dentro do setor e dentro do disco de raio 3, z varia de 0 até o infinito. Em outras palavras, a região D descrita com essas superfícies é ilimitada (ilimitada para z positivo), e assim é um sólido não compacto na direção +z.

Passo 3

Explico por que isso impede obter um valor finito para a integral. Vou passar ao cálculo formal em coordenadas cilíndricas para deixar claro o que acontece.
  • Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Esta é uma fórmula fundamental: o fator r aparece porque a transformação de coordenadas “expande” as áreas radiais.
  • Com os limites que identificámos (se não houver teto para z), a integral fica \iiint_{D} z\,dV = \int_{\theta=\arctan(3)}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{\infty} z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).Reorganizando os integrandos: \iiint_{D} z\,dV = \int_{\arctan(3)}^{\pi/2}\int_{0}^{3}\left( r\int_{0}^{\infty} z\,dz \right)dr\,d\theta.
  • A integral interna \displaystyle \int_{0}^{\infty} z\,dz é bem conhecida: é divergente (tende para infinito). De fato, \int_{0}^{\infty} z\,dz = \lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} z\,dz = \lim_{A\to\infty}\frac{A^{2}}{2} = +\infty.Como essa integral diverge, todo o produto e as integrais exteriores não podem produzir um número finito: a integral tripla diverge.
  • Conclusão técnica: sem um limite superior para z, \displaystyle \iiint_{D} z\,dV = +\infty. Em linguagem prática: a integral não converge — o volume do sólido é infinito na direção z e a função z cresce então dá integral infinita.

Passo 4

Para te ajudar a saber como proceder caso o enunciado tivesse incluído um teto (o que é muito comum em exercícios), mostro rapidamente o método que usaríamos se houvesse um plano superior z=H (constante) ou z=z_{top}(r,\theta):
  • Se existisse z limitado por 0\le z\le H (constante), a integral seria \iiint_{D} z\,dV = \int_{\arctan(3)}^{\pi/2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{H} z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).Calcularíamos a integral interna: \int_{0}^{H} z\,dz = \frac{H^{2}}{2},então \iiint_{D} z\,dV = \int_{\arctan(3)}^{\pi/2}\int_{0}^{3} r\cdot\frac{H^{2}}{2}\,dr\,d\theta = \frac{H^{2}}{2}\int_{\arctan(3)}^{\pi/2}\int_{0}^{3} r\,dr\,d\theta.E continuaríamos integrando \int_{0}^{3} r\,dr = \tfrac{9}{2} e \int_{\arctan(3)}^{\pi/2} d\theta = \tfrac{\pi}{2}-\arctan(3), obtendo um valor finito explicitamente.
  • Se o teto fosse z=z_{top}(r,\theta), faríamos a integral \int_{0}^{z_{top}(r,\theta)} z\,dz = \tfrac{1}{2}z_{top}(r,\theta)^{2} e seguiríamos integrando em r,\theta com o fator r.
Isso é para você ver o procedimento padrão (usar coordenadas cilíndricas, integrar primeiro em z, depois em r e \theta) caso o enunciado incluísse o limite superior de z.

Resposta

A integral diverge: \displaystyle \iiint_{D} z\,dV=+\infty, pois o conjunto D não tem limite superior em z com as informações dadas.

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