Questão 1. Usando a definição de derivada calcule
dado que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada no ponto
usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
-
. - Pede-se
usando a definição (ou seja, não usar regras prontas de derivação).
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada no ponto
e especializar para
. A definição é:
onde
é um incremento que tende a zero. Aplicando para
obtemos:
Explico rápido: nessa razão
estamos calculando a taxa média de variação de
entre
e
; ao levar
a zero, obtemos a taxa instantânea, que é a derivada.
Passo 3
Calcular
diretamente para depois formar a diferença:
Passo 4
Escrever
e montar a diferença
. Temos
logo
Agora vamos colocar em um denominador comum para simplificar. O denominador comum é
, então
Calculo o numerador:
Portanto
Passo 5
Agora formamos o quociente da definição dividindo por
:
Como aqui
enquanto fazemos a manipulação (lembrando que o limite é tomado depois), podemos cancelar o fator
:
Passo 6
Tomar o limite quando
:
Expliquei: substitui-se
na expressão simplificada porque já não há indeterminação (não aparece mais divisão por zero).