Questão 1. Usando a definição de derivada calcule f^{\prime}(0) dado que f(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para calcular a derivada no ponto 0 usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
  • f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.
  • Pede-se f^{\prime}(0) usando a definição (ou seja, não usar regras prontas de derivação).

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada no ponto a e especializar para a=0. A definição é:
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde h é um incremento que tende a zero. Aplicando para a=0 obtemos:
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Explico rápido: nessa razão \dfrac{f(h)-f(0)}{h} estamos calculando a taxa média de variação de f entre 0 e h; ao levar h a zero, obtemos a taxa instantânea, que é a derivada.

Passo 3

Calcular f(0) diretamente para depois formar a diferença:
f(0)=\frac{0+1}{0-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Escrever f(h) e montar a diferença f(h)-f(0). Temos
f(h)=\frac{h+1}{h-2},
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f(h)-f(0)=\frac{h+1}{h-2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{h+1}{h-2}+\frac{1}{2}.
Agora vamos colocar em um denominador comum para simplificar. O denominador comum é 2(h-2), então
\frac{h+1}{h-2}+\frac{1}{2}=\frac{2(h+1)+(h-2)}{2(h-2)}.
Calculo o numerador:
2(h+1)+(h-2)=2h+2+h-2=3h.
Portanto
f(h)-f(0)=\frac{3h}{2(h-2)}.

Passo 5

Agora formamos o quociente da definição dividindo por h:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\dfrac{3h}{2(h-2)}}{h}=\frac{3h}{2(h-2)}\cdot\frac{1}{h}.
Como aqui h\neq0 enquanto fazemos a manipulação (lembrando que o limite é tomado depois), podemos cancelar o fator h:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{3}{2(h-2)}.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0:
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{3}{2(h-2)}=\frac{3}{2(0-2)}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}.
Expliquei: substitui-se h=0 na expressão simplificada porque já não há indeterminação (não aparece mais divisão por zero).

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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