Questão 2: Seja
, dada por
. Determine no plano
todas as curvas de nível de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: determinar no plano
todas as curvas de nível de
. Ou seja, para cada constante real
encontrar o conjunto de pontos
tais que
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
e que devemos considerar todos os valores reais possíveis de
.
Passo 2
O que é uma curva de nível (ou contorno) de uma função de duas variáveis? É o conjunto de pontos onde a função tem um mesmo valor constante. Formalmente, para uma constante
a curva de nível é
A nossa tarefa é estudar a equação
para todos os possíveis
e descrever geometricamente as curvas obtidas.
Passo 3
Caso
. Substituindo
obtemos
Fatorando, temos
logo os pontos satisfazem
ou
. Portanto as curvas de nível para
são as duas retas
Uma forma simples de parametrizar essas retas é
(reta
) e
(reta
), com
.
Passo 4
Caso
. Escrevendo
e dividindo a equação por
obtemos a forma padrão
Isto é a equação de uma hipérbole centrada na origem com o eixo transverso paralelo ao eixo
. Características importantes:
- Centro:
. - Eixos simetria: os eixos coordenados e também simetria em relação às retas
. - Assíntotas: para ver as assíntotas, divida a equação original por
(para ):
Quando
, o lado direito tende a
, então
, ou seja
. Assim as assíntotas são
- Interceptos: com
obtemos , então a hipérbole intercepta o eixo nesses pontos.
Uma parametrização conveniente (usando funções hiperbólicas) é
que de fato satisfaz
pois
.
Passo 5
Caso
. Escreva
com
. A equação fica
Isto também é uma hipérbole, agora com o eixo transverso paralelo ao eixo
(abre-se para cima e para baixo). Características:
- Centro:
. - Assíntotas novamente
(mesma demonstração por divisão por e limite). - Interceptos: com
obtemos .
Uma parametrização útil é
que satisfaz
e portanto
.
Passo 6
Observações práticas para desenhar no exame (truque passo a passo):
- Escolha o valor
. - Se
: desenhe a hipérbole com interseções em e assíntotas ; as duas ramas ficam à esquerda e à direita. - Se
: desenhe as retas . - Se
: escreva , desenhe a hipérbole com interseções em e assíntotas ; as duas ramas ficam para cima e para baixo.
Também pode usar a forma explícita para:
lembrando que a raiz só existe quando
(isso explica onde a curva tem pontos reais para cada
).
Passo 7
Simetrias e comportamento quando
varia:
- Todas as curvas de nível são simétricas em relação à origem e às retas
e (simetria par nas variáveis). - As assíntotas são fixas e independentes de
: sempre . - Quando
as hipérboles aproximam-se das retas e no limite obtém-se exatamente essas retas.
Resposta
Para cada
a curva de nível é o conjunto
, que se descreve assim:
- Se
: hipérboles , com assíntotas e interseções . - Se
: as retas e . - Se
: hipérboles , com assíntotas e interseções .