Questão 2: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2}-y^{2}. Determine no plano x y todas as curvas de nível de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
O que se pede: determinar no plano x y todas as curvas de nível de f. Ou seja, para cada constante real c encontrar o conjunto de pontos (x,y) tais que
x^{2}-y^{2}=c.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) e que devemos considerar todos os valores reais possíveis de c.

Passo 2

O que é uma curva de nível (ou contorno) de uma função de duas variáveis? É o conjunto de pontos onde a função tem um mesmo valor constante. Formalmente, para uma constante c\in\mathbb{R} a curva de nível é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}=c\}.
A nossa tarefa é estudar a equação x^{2}-y^{2}=c para todos os possíveis c e descrever geometricamente as curvas obtidas.

Passo 3

Caso c=0. Substituindo c=0 obtemos
x^{2}-y^{2}=0.
Fatorando, temos
(x-y)(x+y)=0,
logo os pontos satisfazem x-y=0 ou x+y=0. Portanto as curvas de nível para c=0 são as duas retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x.
Uma forma simples de parametrizar essas retas é x=t,\\ y=t (reta y=x) e x=t,\\ y=-t (reta y=-x), com t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Caso c>0. Escrevendo c>0 e dividindo a equação por c obtemos a forma padrão
\frac{x^{2}}{c}-\frac{y^{2}}{c}=1.
Isto é a equação de uma hipérbole centrada na origem com o eixo transverso paralelo ao eixo x. Características importantes:
  • Centro: (0,0).
  • Eixos simetria: os eixos coordenados e também simetria em relação às retas y=\pm x.
  • Assíntotas: para ver as assíntotas, divida a equação original por x^{2} (para x\neq0):
1-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{c}{x^{2}}.
Quando |x|\to\infty, o lado direito tende a 0, então \left(\frac{y}{x}\right)^{2}\to1, ou seja \frac{y}{x}\to\pm1. Assim as assíntotas são
y=\pm x.
  • Interceptos: com y=0 obtemos x=\pm\sqrt{c}, então a hipérbole intercepta o eixo x nesses pontos.
    Uma parametrização conveniente (usando funções hiperbólicas) é
x=\sqrt{c}\operatorname{cosh} t,\qquad y=\sqrt{c}\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R},
que de fato satisfaz \,x^{2}-y^{2}=c pois \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1.

Passo 5

Caso c<0. Escreva c=-a com a>0. A equação fica
x^{2}-y^{2}=-a\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-x^{2}=a.
Isto também é uma hipérbole, agora com o eixo transverso paralelo ao eixo y (abre-se para cima e para baixo). Características:
  • Centro: (0,0).
  • Assíntotas novamente y=\pm x (mesma demonstração por divisão por x^{2} e limite).
  • Interceptos: com x=0 obtemos y=\pm\sqrt{a}=\pm\sqrt{-c}.
    Uma parametrização útil é
x=\sqrt{a}\operatorname{sinh} t,\qquad y=\sqrt{a}\operatorname{cosh} t,\qquad t\in\mathbb{R},
que satisfaz \,y^{2}-x^{2}=a e portanto x^{2}-y^{2}=-a=c.

Passo 6

Observações práticas para desenhar no exame (truque passo a passo):
  1. Escolha o valor c.
  2. Se c>0: desenhe a hipérbole com interseções em x=\pm\sqrt{c} e assíntotas y=\pm x; as duas ramas ficam à esquerda e à direita.
  3. Se c=0: desenhe as retas y=\pm x.
  4. Se c<0: escreva a=-c, desenhe a hipérbole com interseções em y=\pm\sqrt{a} e assíntotas y=\pm x; as duas ramas ficam para cima e para baixo.
    Também pode usar a forma explícita para y:
y=\pm\sqrt{x^{2}-c},
lembrando que a raiz só existe quando x^{2}-c\ge0 (isso explica onde a curva tem pontos reais para cada c).

Passo 7

Simetrias e comportamento quando c varia:
  • Todas as curvas de nível são simétricas em relação à origem e às retas y=0 e x=0 (simetria par nas variáveis).
  • As assíntotas são fixas e independentes de c: sempre y=\pm x.
  • Quando c\to0 as hipérboles aproximam-se das retas y=\pm x e no limite c=0 obtém-se exatamente essas retas.

Resposta

Para cada c\in\mathbb{R} a curva de nível é o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}-y^{2}=c\}, que se descreve assim:
  • Se c>0: hipérboles \displaystyle\frac{x^{2}}{c}-\frac{y^{2}}{c}=1, com assíntotas y=\pm x e interseções x=\pm\sqrt{c}.
  • Se c=0: as retas y=x e y=-x.
  • Se c<0: hipérboles \displaystyle\frac{y^{2}}{|c|}-\frac{x^{2}}{|c|}=1, com assíntotas y=\pm x e interseções y=\pm\sqrt{|c|}.

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