Questão 7. Usando as equações da tensão no capacitor, mostre que o instante de tempo no qual V_{C \text { carga }}=V_{C \text { descarga }} é dado por:
t_{\text {carga }=\text { descarga }}=-\ln 0,5 \cdot \tau

Passo 1

O enunciado nos dá as equações da tensão no capacitor em um circuito RC, tanto no processo de carga quanto no de descarga, e pede o instante t em que
V_{C\,\text{carga}}(t) \;=\; V_{C\,\text{descarga}}(t).
Para resolver vamos usar as fórmulas clássicas de carga e descarga de capacitor, envolvendo a constante de tempo \tau = R C.

Passo 2

A equação da tensão no capacitor durante a carga, partindo de V_C(0)=0 com fonte de tensão V_0, é
V_{C\,\text{carga}}(t) \;=\; V_{0}\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr).
Já no processo de descarga, partindo de V_C(0)=V_{0} sem fonte externa, temos
V_{C\,\text{descarga}}(t) \;=\; V_{0}\,e^{-t/\tau}.

Passo 3

Impondo V_{C\,\text{carga}}(t) = V_{C\,\text{descarga}}(t) e dividindo ambos os lados por V_{0}, obtém-se
1 - e^{-t/\tau} \;=\; e^{-t/\tau}.

Passo 4

Somando e^{-t/\tau} a ambos os lados dá
1 \;=\; 2\,e^{-t/\tau},
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e^{-t/\tau} \;=\; \tfrac12.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados resulta em
-\frac{t}{\tau} = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr),
ou seja
t = -\tau\,\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr).

Resposta

t_{\text{carga}=\text{descarga}} = -\ln 0,5 \;\cdot\;\tau

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