Mostre que a constante de tempo indutiva \tau_{L} pode ser também definida como o intervalo de tempo que seria necessário para a corrente de um circuito R L alcançar o seu valor de equilibrio se o crescimento continuasse a sua taxa inicial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num circuito série R–L submetido a um degrau de tensão constante V, a constante de tempo indutiva \tau_{L} = \tfrac{L}{R}
pode ser interpretada como o tempo que a corrente levaria para atingir o valor de equilíbrio se continuasse crescendo à sua taxa inicial.
Conteúdo utilizado: resolução da equação diferencial do circuito R–L, conceito de constante de tempo, valor de regime permanente e taxa de variação inicial da corrente.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial do circuito série R–L quando aplicamos em t=0 uma tensão constante V:
L \,\frac{di}{dt} + R\,i = V.
A solução para i(t), com condição inicial i(0)=0, é a conhecida forma exponencial:
i(t) = I_{\infty}\,\bigl(1 - e^{-t/\tau_{L}}\bigr),
onde
I_{\infty} = \frac{V}{R} \quad\text{e}\quad \tau_{L} = \frac{L}{R}.

Passo 3

Calculamos a taxa de variação inicial da corrente em t=0:
\left.\frac{di}{dt}\right|_{t=0} = \frac{V - R\,i(0)}{L} = \frac{V}{L}
pois i(0)=0. Portanto a inclinação inicial da curva i(t) é \tfrac{V}{L}.

Passo 4

A reta tangente ao gráfico de i(t) no ponto t=0 tem equação
i_{\text{tan}}(t) = \left.\frac{di}{dt}\right|_{t=0}\,t = \frac{V}{L}\;t.
Para definir o “tempo projetado” até o valor de equilíbrio I_{\infty}, impomos
i_{\text{tan}}(t^*) = I_{\infty}.

Passo 5

Igualando a reta ao valor de regime permanente:
\frac{V}{L}\;t^* = \frac{V}{R} \quad\Longrightarrow\quad t^* = \frac{V}{R}\,\frac{L}{V} = \frac{L}{R}.
Esse t^* é exatamente \tau_{L}.

Resposta

Mostrou-se que a constante de tempo indutiva \tau_{L} = \tfrac{L}{R}
corresponde também ao intervalo de tempo necessário para que a corrente do circuito R–L, prolongando-se à sua taxa inicial, chegasse ao valor de equilíbrio.

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