Dois fios longos e paralelos de cobre (diâmetro =2,60 \mathrm{~mm} ) conduzem correntes de 11,3 A em sentidos opostos. (a) Se os seus centros estão afastados de 21,8 \mathrm{~mm}, calcule o fluxo por metro de fio que existe no espaço entre os eixos dos fios. (b) Que parte deste fluxo existe no interior dos fios e, portanto, qual o erro que incorre-se ao ignorar este fluxo no
cálculo da indutância de dois fĩos paralelos? Veja o Problema 3. (c) Repita os cálculos do item (a) para correntes de mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado dá dois fios longos e paralelos de raio \displaystyle a=\tfrac{2{,}60\hbox{ mm}}{2}=1{,}30\hbox{ mm} cujos eixos estão separados por
D = 21{,}8\hbox{ mm},
e cada fio carrega corrente de módulo
I = 11{,}3\hbox{ A}
em sentidos opostos.
Precisamos calcular o fluxo magnético por metro de fio que se encontra na região entre os eixos dos fios. Vamos usar a lei de Biot–Savart para campo em torno de fio longo
B(r) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r},
e superpor os campos das duas correntes.

Passo 2

Para correntes em sentidos opostos, no espaço entre os fios (distâncias de r=a até r=D-a a partir do eixo do fio 1) os campos se somam:
B_{1}(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}, \quad B_{2}(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,(D-r)},
então
B_{\rm total}(r)=B_{1}(r)+B_{2}(r) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\Bigl(\tfrac1r+\tfrac1{D-r}\Bigr).
O fluxo por unidade de comprimento (por metro) é
\Phi =\int_{r=a}^{r=D-a} B_{\rm total}(r)\,\mathrm{d}r =\frac{\mu_{0}I}{2\pi} \int_{a}^{D-a}\Bigl(\tfrac1r+\tfrac1{D-r}\Bigr)\mathrm{d}r.

Passo 3

Calculemos a integral:
\int_{a}^{D-a}\frac{\mathrm{d}r}{r} =\ln\!\bigl(\tfrac{D-a}{a}\bigr), \qquad \int_{a}^{D-a}\frac{\mathrm{d}r}{D-r} =\ln\!\bigl(\tfrac{D-a}{a}\bigr).
Portanto
\Phi =\frac{\mu_{0}I}{2\pi} \cdot2\,\ln\!\bigl(\tfrac{D-a}{a}\bigr) =\frac{\mu_{0}I}{\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{D-a}{a}\bigr).
Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\hbox{ H/m}, a=1{,}30\times10^{-3}\hbox{ m}, D-a=0{,}0205\hbox{ m} e I=11{,}3\hbox{ A}:
\Phi =4\times10^{-7}\times11{,}3\times \ln\!\bigl(\tfrac{0{,}0205}{0{,}00130}\bigr) \approx1{,}25\times10^{-5}\hbox{ Wb/m}.

Passo 4

Para achar o fluxo que está dentro dos próprios fios, integramos desde o eixo até r=a (fio 1) e simetricamente no outro fio. Dentro de cada fio 1 o campo do próprio fio varia como
B_{1,\rm int}(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,\frac{r}{a^{2}},
e o campo do outro fio é \mu_{0}I/[2\pi\,(D-r)]. Somando e integrando de r=0 a r=a, e fazendo o mesmo no segundo fio, obtém‐se
\Phi_{\rm int} = \frac{\mu_{0}I}{\pi}\Bigl(\tfrac12+\ln\!\tfrac{D}{D-a}\Bigr).
Numericamente, com D/(D-a)=1{,}0634:
\Phi_{\rm int} =4\times10^{-7}\times11{,}3\, \bigl(0{,}5+\ln1{,}0634\bigr) \approx2{,}55\times10^{-6}\hbox{ Wb/m}.

Passo 5

A fração do fluxo total que está dentro dos fios é
\frac{\Phi_{\rm int}}{\Phi} \approx\frac{2{,}55\times10^{-6}}{1{,}25\times10^{-5}} \approx0{,}204\quad(20{,}4\%).
Logo, ignorar este fluxo causa um erro de cerca de 20\% no cálculo da indutância de arranjo.

Passo 6

Para correntes de mesmo sentido, os campos no espaço entre os fios se opõem, de modo que
B_{\rm total}(r) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{D-r}\Bigr),
e o fluxo por metro fica
\Phi =\frac{\mu_{0}I}{2\pi} \int_{a}^{D-a}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{D-r}\Bigr)\mathrm{d}r =0
pois as duas integrais de \tfrac1r e \tfrac1{D-r} se cancelam.

Resposta

(a) \displaystyle\Phi\approx1{,}25\times10^{-5}\hbox{ Wb/m}
(b) \displaystyle\Phi_{\rm int}\approx2{,}55\times10^{-6}\hbox{ Wb/m}, erro de 20{,}4\%
(c) \displaystyle\Phi=0 Wb/m.

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