Questão 6. Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido:
compreendido pelo paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 9. O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar converter as coordenadas, expressar o elemento de volume e determinar os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. O elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz. A região está entre o paraboloide z = r^2 e o plano z = 9. No plano xy isso corresponde a r^2 <= 9, isto é 0 <= r <= 3, com 0 <= theta <= 2pi. Assim, a integral tripla de volume fica:
integral0^2piintegral0^3integralr^2^9 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro, integramos em z:
integralr^2^9 1,dz = 9 - r^2
Isso reduz a integral para
integral0^2piintegral0^3(9 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Depois, integramos em r:
integral0^3 (9r - r^3),dr = [9r^22 - r^44]0^3 = 812 - 814 = 814
Agora a integral fica
integral0^2pi814,dtheta

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi814,dtheta = 814cdot 2pi

Resposta

81pi2

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