Questão 6. Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido:
compreendido pelo paraboloide
e o plano
.
compreendido pelo paraboloide
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar converter as coordenadas, expressar o elemento de volume e determinar os limites de integração.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações
,
e
. O elemento de volume é
. A região está entre o paraboloide
e o plano
. No plano
isso corresponde a
, isto é
, com
. Assim, a integral tripla de volume fica:
Passo 3
Primeiro, integramos em
:
Isso reduz a integral para
Passo 4
Depois, integramos em
:
Agora a integral fica
Passo 5
Por fim, integramos em
: