1. Se D for um conjunto aberto do plano ou do espaço, então cada ponto de D será um ponto interior de D.
  2. Se f(x, y) L quando (x, y) tender a (0,0) ao longo do eixo x e se f(x, y) L quando (x, y) tender a (0,0) ao longo do eixo y, então lim (x, y) (0,0) f(x, y)=L.
  3. Se f e g forem funções de duas variáveis tais que f+g e f g sejam ambas contínuas, então ambas as funções, f e g, serão contínuas.
  4. Se lim x 0^+ f(x)=L neq 0, então
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2f(x^2+y^2)=0

Passo 1

O exercício apresenta quatro afirmações envolvendo conjunto aberto, limites de funções de duas variáveis e continuidade, e pede para identificar se cada uma é verdadeira ou falsa usando conceitos básicos de topologia, limites por caminhos e contraexemplos.

Passo 2

A afirmação 29 diz: “Se D é um conjunto aberto do plano ou do espaço, então cada ponto de D será um ponto interior de D.” Pela definição de conjunto aberto, todo ponto de D tem um pequeno raio em torno dele contido em D, logo é interior. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

A afirmação 30 diz: “Se f(x,y) tende a L quando (x,y)→(0,0) ao longo do eixo x e também ao longo do eixo y, então lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=L.” Limitar-se a dois caminhos (eixos) não garante existência do limite total. Por exemplo, para f(x,y)=xy/(x2+y2) temos f→0 ao longo dos eixos, mas ao longo de y=x, f(x,x)=1/2. Então a afirmação é falsa.

Passo 4

A afirmação 31 diz: “Se f+g e f·g são contínuas, então f e g são contínuas.” Não é suficiente: considere f(x)=1 para x≥0 e f(x)=-1 para x<0, e g(x)=-f(x). Aí f+g≡0 e f·g≡-1 são contínuas, mas f e g são descontinuas em x=0. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

A afirmação 32 diz: “Se lim_{x→0^+}f(x)=L≠0, então lim_{(x,y)→(0,0)}(x2+y2)/f(x2+y2)=0.” Note que r2=x2+y2→0+, logo f(r^2)→L≠0. Como o numerador r^2→0 e o denominador tende a L≠0 de forma contínua, o quociente tende a 0. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

29: verdadeira; 30: falsa; 31: falsa; 32: verdadeira.

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