- Se
for um conjunto aberto do plano ou do espaço, então cada ponto de
será um ponto interior de
.
- Se
quando
tender a
ao longo do eixo
e se
quando
tender a
ao longo do eixo
, então
.
- Se
e
forem funções de duas variáveis tais que
e
sejam ambas contínuas, então ambas as funções,
e
, serão contínuas.
- Se
, então
Passo 1
O exercício apresenta quatro afirmações envolvendo conjunto aberto, limites de funções de duas variáveis e continuidade, e pede para identificar se cada uma é verdadeira ou falsa usando conceitos básicos de topologia, limites por caminhos e contraexemplos.
Passo 2
A afirmação 29 diz: “Se D é um conjunto aberto do plano ou do espaço, então cada ponto de D será um ponto interior de D.” Pela definição de conjunto aberto, todo ponto de D tem um pequeno raio em torno dele contido em D, logo é interior. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
A afirmação 30 diz: “Se f(x,y) tende a L quando (x,y)→(0,0) ao longo do eixo x e também ao longo do eixo y, então lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=L.” Limitar-se a dois caminhos (eixos) não garante existência do limite total. Por exemplo, para f(x,y)=xy/(x2+y2) temos f→0 ao longo dos eixos, mas ao longo de y=x, f(x,x)=1/2. Então a afirmação é falsa.
Passo 4
A afirmação 31 diz: “Se f+g e f·g são contínuas, então f e g são contínuas.” Não é suficiente: considere f(x)=1 para x≥0 e f(x)=-1 para x<0, e g(x)=-f(x). Aí f+g≡0 e f·g≡-1 são contínuas, mas f e g são descontinuas em x=0. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 5
A afirmação 32 diz: “Se lim_{x→0^+}f(x)=L≠0, então lim_{(x,y)→(0,0)}(x2+y2)/f(x2+y2)=0.” Note que r2=x2+y2→0+, logo f(r^2)→L≠0. Como o numerador r^2→0 e o denominador tende a L≠0 de forma contínua, o quociente tende a 0. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
29: verdadeira; 30: falsa; 31: falsa; 32: verdadeira.