2 Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e pela curva no plano
.
Informações dadas:
- A superfície superior é
. - A superfície inferior é
. - A projeção do sólido no plano
é a região dada pelo disco . - O que se pede: calcular o volume do sólido, isto é o volume entre
e sobre o disco unitário.
Passo 2
Ideia para calcular o volume (fórmula que vamos usar).
Quando um sólido é limitado superiormente por
e inferiormente por
sobre uma região
no plano
, o volume é dado por
Aqui
é o elemento de área no plano
. No nosso caso
com
.
Passo 3
Por que usar coordenadas polares?
A região
é o disco de raio
, então é muito natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as substituições
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo. O elemento de área em polares é
porque o jacobiano da transformação cartesianas
polares é
. Essa fórmula significa que um pequeno retângulo em
corresponde a uma área aproximada
no plano.
Passo 4
Expressar a integranda em polares.
Substituindo
e
por polares:
Logo a função a integrar torna-se
Multiplicando pelo jacobiano
(para obter
), o integrando total é
Passo 5
Definir os limites de integração e escrever a integral iterada.
Para o disco de raio
temos
e
. Assim
Passo 6
Separar e integrar em
passo a passo.
Primeiro simplifico a combinação trigonométrica:
Então a integral fica
Integro em
primeiro, termo a termo:
Portanto, após integrar em
, o integrando em
é
Assim
Passo 7
Integrar em
usando a identidade trigonométrica.
Usar
. Então
A segunda integral é zero porque
tem integral nula em um período inteiro, e a primeira é
. Logo
Agora calculo
:
Passo 8
Verificação rápida (intuição e cheque).
Uma checagem alternativa rápida usando simetria: sobre o disco unitário
. Então
mesmo resultado, consistência confirmada.