2 Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z=0, z=1+x^{2}+3 y^{2} e x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=0, z=1+x^{2}+3y^{2} e pela curva no plano x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas:
  • A superfície superior é z_{\text{top}}=1+x^{2}+3y^{2}.
  • A superfície inferior é z_{\text{bot}}=0.
  • A projeção do sólido no plano xy é a região D dada pelo disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • O que se pede: calcular o volume do sólido, isto é o volume entre z=0 e z=1+x^{2}+3y^{2} sobre o disco unitário.

Passo 2

Ideia para calcular o volume (fórmula que vamos usar).
Quando um sólido é limitado superiormente por z_{\text{top}}(x,y) e inferiormente por z_{\text{bot}}(x,y) sobre uma região D no plano xy, o volume é dado por
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. No nosso caso
V=\iint_{D}\bigl(1+x^{2}+3y^{2}\bigr)\,dA,
com D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 3

Por que usar coordenadas polares?
A região D é o disco de raio 1, então é muito natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as substituições
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área em polares é
dA=r\,dr\,d\theta,
porque o jacobiano da transformação cartesianas \to polares é r. Essa fórmula significa que um pequeno retângulo em (r,\theta) corresponde a uma área aproximada r\,dr\,d\theta no plano.

Passo 4

Expressar a integranda em polares.
Substituindo x e y por polares:
x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta,\qquad y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta.
Logo a função a integrar torna-se
1+x^{2}+3y^{2}=1+r^{2}\cos^{2}\theta+3r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano r (para obter dA), o integrando total é
\bigl(1+r^{2}\cos^{2}\theta+3r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)r = r + r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta\bigr).

Passo 5

Definir os limites de integração e escrever a integral iterada.
Para o disco de raio 1 temos 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. Assim
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\Bigl(r + r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta\bigr)\Bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar e integrar em r passo a passo.
Primeiro simplifico a combinação trigonométrica:
\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta=(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+2\sin^{2}\theta =1+2\sin^{2}\theta.
Então a integral fica
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(r + r^{3}+2r^{3}\sin^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Integro em r primeiro, termo a termo:
\int_{0}^{1} r\,dr=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} 2r^{3}\,dr=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto, após integrar em r, o integrando em \theta é
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta.
Assim
V=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right)\,d\theta.

Passo 7

Integrar em \theta usando a identidade trigonométrica.
Usar \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem integral nula em um período inteiro, e a primeira é \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi.
Agora calculo V:
V=\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{3}{4}\cdot 2\pi + \frac{1}{2}\cdot \pi =\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=2\pi.

Passo 8

Verificação rápida (intuição e cheque).
Uma checagem alternativa rápida usando simetria: sobre o disco unitário \iint_{D}x^{2}\,dA=\iint_{D}y^{2}\,dA=\dfrac{\pi}{4}. Então
V=\iint_{D}(1+x^{2}+3y^{2})\,dA = \operatorname{area}(D) + \iint_{D}x^{2}\,dA + 3\iint_{D}y^{2}\,dA = \pi + \frac{\pi}{4} + 3\cdot\frac{\pi}{4}=2\pi,
mesmo resultado, consistência confirmada.

Resposta

2\pi

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