9 Calcule: \quad \int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d V, W é o sólido limitado pelo elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume
Dados: constantes positivas a, b, c (tamanho dos eixos do elipsoide) e a região W definida pela desigualdade \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1.
Pedido: o valor numérico da integral de volume indicada (em termos de a, b, c e números conhecidos como \pi).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): aplicar uma transformação linear que manda o elipsoide W no bola unitária B em \mathbb{R}^{3}. Isso simplifica a região de integração. Escrevendo a transformação e justificando-a:
Portanto a integral original passa para uma integral sobre a bola unitária B:
\int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\,dV = a b c \int_{B}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\,dU.
Passo 5
Observe que u^{2}+v^{2}+w^{2} é simplesmente o quadrado do raio na coordenada (u,v,w). Definindo r^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}, a integral a calcular é
a b c \int_{B} r^{2}\,dU.
Agora é natural usar coordenadas esféricas para calcular \int_{B} r^{2}\,dU.
Passo 6
Lembrete rápido sobre coordenadas esféricas em \mathbb{R}^{3}:
As coordenadas esféricas padrão são (r,\varphi,\theta) com r\ge0, 0\le\varphi\le\pi (ângulo polar medido a partir do eixo w ou z) e 0\le\theta<2\pi (ângulo azimutal no plano u\!-\!v).
As relações são
u = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad v = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad w = r\cos\varphi.
O elemento de volume em esféricas é
dU = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Aqui r^{2}\sin\varphi é o Jacobiano das coordenadas esféricas.
Passo 7
Substituindo em \int_{B} r^{2}\,dU e escrevendo os limites para a bola unitária (0\le r\le 1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi) obtemos