9 Calcule: \quad \int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d V, W é o sólido limitado pelo elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume
\int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\,dV
onde W é o sólido limitado pelo elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Dados: constantes positivas a, b, c (tamanho dos eixos do elipsoide) e a região W definida pela desigualdade \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1.
  • Pedido: o valor numérico da integral de volume indicada (em termos de a, b, c e números conhecidos como \pi).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): aplicar uma transformação linear que manda o elipsoide W no bola unitária B em \mathbb{R}^{3}. Isso simplifica a região de integração. Escrevendo a transformação e justificando-a:
  • Faça a mudança de variáveis
u=\frac{x}{a},\qquad v=\frac{y}{b},\qquad w=\frac{z}{c}.
Sob essa transformação o elipsoide \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\le1 passa a ser a bola unitária
B=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^{3}\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1\}.
Agora é preciso calcular como dV se transforma (Jacobiano) e como a integranda fica em u,v,w.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano da transformação. Escrevendo a transformação em forma matricial:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 & 0\\[4pt]0 & b & 0\\[4pt]0 & 0 & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\\ v\\\ w\end{pmatrix}.
A matriz é diagonal com entradas a,b,c, portanto o determinante (valor absoluto do Jacobiano) é
\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=|a b c|=a b c,
assumindo a,b,c>0. Logo o elemento de volume transforma assim:
dV = a b c\, dU
onde dU denota du\,dv\,dw.]

Passo 4

Transformação da integranda. Pela mudança de variáveis temos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = u^{2}+v^{2}+w^{2}.
Portanto a integral original passa para uma integral sobre a bola unitária B:
\int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\,dV = a b c \int_{B}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\,dU.

Passo 5

Observe que u^{2}+v^{2}+w^{2} é simplesmente o quadrado do raio na coordenada (u,v,w). Definindo r^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}, a integral a calcular é
a b c \int_{B} r^{2}\,dU.
Agora é natural usar coordenadas esféricas para calcular \int_{B} r^{2}\,dU.

Passo 6

Lembrete rápido sobre coordenadas esféricas em \mathbb{R}^{3}:
  • As coordenadas esféricas padrão são (r,\varphi,\theta) com r\ge0, 0\le\varphi\le\pi (ângulo polar medido a partir do eixo w ou z) e 0\le\theta<2\pi (ângulo azimutal no plano u\!-\!v).
  • As relações são
u = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad v = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad w = r\cos\varphi.
  • O elemento de volume em esféricas é
dU = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Aqui r^{2}\sin\varphi é o Jacobiano das coordenadas esféricas.

Passo 7

Substituindo em \int_{B} r^{2}\,dU e escrevendo os limites para a bola unitária ( 0\le r\le 1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi) obtemos
\int_{B} r^{2}\,dU = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cdot \bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{1} r^{4}\,dr.
Expliquei: multiplicamos r^{2} (a integranda) pelo Jacobiano r^{2}\sin\varphi, daí r^{4}\sin\varphi na integral.

Passo 8

Calcule separadamente as três integrais:
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
  • Integral radial:
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Multiplicando os três resultados:
\int_{B} r^{2}\,dU = 2\pi\cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}.

Passo 9

Voltando à integral original, lembrando do fator a b c do Jacobiano:
\int_{W}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\,dV = a b c \cdot \int_{B} r^{2}\,dU = a b c \cdot \frac{4\pi}{5}.

Resposta

\frac{4\pi}{5}\,a b c

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