Questão 4
Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
x+2 y=203
3 y+4 z=232
5 x+6 z=261

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear formado por três equações e três incógnitas. As equações dadas são:
x + 2y = 203
3y + 4z = 232
5x + 6z = 261
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • As incógnitas são \,x,\\ y,\\ z.
  • Podemos escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{v}=\mathbf{b}, com
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 3 & 4\\[4pt]5 & 0 & 6\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}203\\[4pt]232\\[4pt]261\end{pmatrix}.
  • O objetivo é encontrar os valores de \,x,\\ y,\\ z.]

Passo 2

Vou usar a regra de Cramer. Explicando a regra de forma clara e simples:
  • Seja um sistema linear quadrado \,A\mathbf{v}=\mathbf{b} de ordem 3. Defina \,D=\det(A).
  • Para cada incógnita \,x_i (aqui \,x_1=x,\\ x_2=y,\\ x_3=z), constrói-se a matriz A_i substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
  • A regra de Cramer afirma que
x_i = \frac{D_i}{D},
onde \,D_i=\det(A_i), desde que \,D\neq0.
Também explico rapidamente como calcular determinante de uma matriz 3\times3 por expansão pela primeira linha (fórmula):
se
M=\begin{pmatrix}a & b & c\\[4pt]d & e & f\\[4pt]g & h & i\end{pmatrix},
então
\det(M)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Cada letra é o elemento correspondente da matriz; essa fórmula multiplica um elemento da primeira linha pelo determinante do menor 2\times2 que sobra, respeitando sinais.]

Passo 3

Calcular o determinante D=\det(A). Usando a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 3 & 4\\[4pt]5 & 0 & 6\end{pmatrix},
aplico a fórmula com a=1,\\ b=2,\\ c=0,\\ d=0,\\ e=3,\\ f=4,\\ g=5,\\ h=0,\\ i=6:
D = 1\cdot(3\cdot6 - 4\cdot0) - 2\cdot(0\cdot6 - 4\cdot5) + 0\cdot(0\cdot0 - 3\cdot5).
Calculo passo a passo:
3\cdot6 = 18,\qquad 4\cdot0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot(18-0)=18.
0\cdot6 = 0,\qquad 4\cdot5 = 20 \quad\Rightarrow\quad -2\cdot(0-20) = -2\cdot(-20)=40.
\text{termo com }c=0\text{ é }0.é
Somando:
D = 18 + 40 + 0 = 58.
Como \,D=58\neq0, a regra de Cramer é aplicável e o sistema tem solução única.]

Passo 4

Calcular D_x, determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna de A por \mathbf{b}:
A_x = \begin{pmatrix}203 & 2 & 0\\[4pt]232 & 3 & 4\\[4pt]261 & 0 & 6\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula com a=203,\\ b=2,\\ c=0,\\ d=232,\\ e=3,\\ f=4,\\ g=261,\\ h=0,\\ i=6:
D_x = 203\cdot(3\cdot6 - 4\cdot0) - 2\cdot(232\cdot6 - 4\cdot261) + 0\cdot(\cdots).
Calculo passo a passo:
3\cdot6 = 18 \quad\Rightarrow\quad 203\cdot18 = 203\cdot(20-2)=203\cdot20 - 203\cdot2 = 4060 - 406 = 3654.
232\cdot6 = 1392,\qquad 4\cdot261 = 1044 \quad\Rightarrow\quad 232\cdot6 - 4\cdot261 = 1392 - 1044 = 348.
-2\cdot 348 = -696.
Somando:
D_x = 3654 - 696 = 2958.
Portanto
x = \frac{D_x}{D} = \frac{2958}{58}.
Simplificando: dividir numerador e denominador por 2:
\frac{2958}{58} = \frac{1479}{29}.
E 29\cdot51 = 1479, logo
x = 51.]

Passo 5

Calcular D_y, substituindo a segunda coluna por \mathbf{b}:
A_y = \begin{pmatrix}1 & 203 & 0\\[4pt]0 & 232 & 4\\[4pt]5 & 261 & 6\end{pmatrix}.
Usando a fórmula com a=1,\\ b=203,\\ c=0,\\ d=0,\\ e=232,\\ f=4,\\ g=5,\\ h=261,\\ i=6:
D_y = 1\cdot(232\cdot6 - 4\cdot261) - 203\cdot(0\cdot6 - 4\cdot5) + 0\cdot(\cdots).
Calculo:
232\cdot6 = 1392,\qquad 4\cdot261 = 1044 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot(1392-1044)=348.
0\cdot6 = 0,\qquad 4\cdot5 = 20 \quad\Rightarrow\quad -203\cdot(0-20) = -203\cdot(-20)=+4060.
Somando:
D_y = 348 + 4060 = 4408.
Logo
y = \frac{D_y}{D} = \frac{4408}{58}.
Simplificando por 2:
\frac{4408}{58} = \frac{2204}{29}.
E 29\cdot76 = 2204, portanto
y = 76.]

Passo 6

Calcular D_z, substituindo a terceira coluna por \mathbf{b}:
A_z = \begin{pmatrix}1 & 2 & 203\\[4pt]0 & 3 & 232\\[4pt]5 & 0 & 261\end{pmatrix}.
Com a=1,\\ b=2,\\ c=203,\\ d=0,\\ e=3,\\ f=232,\\ g=5,\\ h=0,\\ i=261:
D_z = 1\cdot(3\cdot261 - 232\cdot0) - 2\cdot(0\cdot261 - 232\cdot5) + 203\cdot(0\cdot0 - 3\cdot5).
Calculo:
3\cdot261 = 783 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot783 = 783.
0\cdot261 = 0,\qquad 232\cdot5 = 1160 \quad\Rightarrow\quad -2\cdot(0-1160) = -2\cdot(-1160) = 2320.
0\cdot0 - 3\cdot5 = -15 \quad\Rightarrow\quad 203\cdot(-15) = -3045.
Somando:
D_z = 783 + 2320 - 3045 = 58.
Portanto
z = \frac{D_z}{D} = \frac{58}{58} = 1.]

Passo 7

Verificação rápida (checagem): multiplicando A pela solução \,(x,y,z)=(51,76,1) deve resultar em \mathbf{b}.
  • Primeira linha: 1\cdot51 + 2\cdot76 + 0\cdot1 = 51 + 152 = 203.
  • Segunda linha: 0\cdot51 + 3\cdot76 + 4\cdot1 = 228 + 4 = 232.
  • Terceira linha: 5\cdot51 + 0\cdot76 + 6\cdot1 = 255 + 6 = 261.
    Confere com \mathbf{b}=(203,232,261), então a solução está correta.

Resposta

x=51
y=76
z=1

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